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(Riemann 映射定理的构造性证明) 利用 Carathéodory 的想法, Koebe 给出了 Riemann 映射定理的构造性的证明. 本题给出证明的思路, 细节留作习题.

一个区域 $K$ 称为 Koebe 区域,是指 $K$ 单连通, $K \subsetneq \mathbb{D}$ 且 $0 \in K$ . 证明思路是给定 Koebe 区域 ${K}_{0}$ ,找到一个单叶函数 $f : {K}_{0} \rightarrow \mathbb{D}$ 使其像集 ${K}_{1} = f\left( {K}_{0}\right)$ 是比 ${K}_{0}$ 更 “大” 的 Koebe 区域. 接下来迭代此过程, 得到单叶函数列

$${F}_{n} = {f}_{n} \circ \cdots \circ {f}_{0} : {K}_{0} \rightarrow \mathbb{D}$$

使 ${F}_{n}\left( {K}_{0}\right) = {K}_{n + 1}$ . 期望极限函数 $F = \mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }{F}_{n}$ 是从 ${K}_{0}$ 到 $\mathbb{D}$ 的双全纯映射.

为实现此想法,需要给出 Koebe 区域变大的严格定义,并给出函数序列 ${f}_{n}$ 的具体构造. 定义 Koebe 区域 $K$ 的内半径 $r\left( K\right) = \sup \{ \rho > 0 \mid D\left( {0,\rho }\right) \subset K\}$ . 单叶函数 $f : K \rightarrow \mathbb{D}$ 称为是扩张的,如果 $f\left( 0\right) = 0$ 且 $\left| {f\left( z\right) }\right| > \left| z\right| ,\forall z \in K \smallsetminus \{ 0\}$ .

1. 如果 $f$ 是扩张的，证明 ${r}_{f\left( K\right) } \geq {r}_{K}$ 且 $\left| {{f}^{\prime }\left( 0\right) }\right| > 1$ . (提示: 令 $f\left( z\right) = {zg}\left( z\right)$ 并对 $g$ 应用最大模原理.)
   
   给定 Koebe 区域 ${K}_{0}$ 和一列扩张单叶函数 ${f}_{n} : {K}_{n} \rightarrow \mathbb{D},n \geq 0$ ,假设 ${K}_{n + 1} = \; {f}_{n}\left( {K}_{n}\right)$ (显然都是 Koebe 区域),定义 ${F}_{n} = {f}_{n} \circ \cdots \circ {f}_{0} : {K}_{0} \rightarrow \mathbb{D}$ .
2. 证明:对任意 $n$ ，映射 ${F}_{n}$ 是扩张的. 进一步，利用等式 ${F}_{n}^{\prime }\left( 0\right) = \mathop{\prod }\limits_{k = 0}^{n}{f}_{k}^{\prime }\left( 0\right)$ 证明 $\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }\left| {{f}_{n}^{\prime }\left( 0\right) }\right| = 1$ . (提示: 证明序列 $\left\{ \left| {{F}_{n}^{\prime }\left( 0\right) }\right| \right\}$ 单调有界.)
3. 证明:如果内半径序列满足 $r\left( {K}_{n}\right) \rightarrow 1$ ，则 $\left\{ {F}_{n}\right\}$ 有子列在 ${K}_{0}$ 上内闭一致收敛到双全纯映射 $F : {K}_{0} \rightarrow \mathbb{D}$ .
   
   为构造 ${K}_{n}$ 满足
   (3),需巧妙地选取 ${f}_{n}$ . 为此定义 ${\psi }_{\alpha }\left( z\right) = \left( {\alpha - z}\right) /\left( {1 - \overline{\alpha }z}\right)$ ,其中 $\alpha \in \mathbb{D}$ .
4. 给定 Koebe 区域 $K$ ,选取一点 $\alpha \in \mathbb{D} \smallsetminus K$ ,使 $\left| \alpha \right| = r\left( K\right)$ . 选取 $\beta \in \mathbb{D}$ 使 ${\beta }^{2} = \alpha$ . 选取 $S$ 是 $\sqrt{ \cdot }$ 在 ${\psi }_{\alpha }\left( K\right)$ 上的单值支,满足 $S\left( \alpha \right) = \beta$ . 证明: 映射 $f = {\psi }_{\beta } \circ S \circ {\psi }_{\alpha }$ 是扩张映射, 且
   
   $$\left| {{f}^{\prime }\left( 0\right) }\right| = \frac{1 + r\left( K\right) }{2\sqrt{r\left( K\right) }}$$
5. 结合
   (4) 和
   (2),给出满足
   (3) 的序列 ${f}_{n},{K}_{n}$ 的构造.

(指定复可微点集的实可微函数) 求一个 $\mathbb{C}$ 上的实可微函数 $f$ ,使其复可微的点集分别是

1. 有限集 $\left\{ {{z}_{1},\cdots ,{z}_{n}}\right\}$ ;
2. 实轴;
3. 抛物线 $y = {x}^{2}$ .

(积分计算) 假设 $f$ 是多项式,证明

$${\int }_{\left| z\right| = 1}\overline{f\left( z\right) }\mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\overline{{f}^{\prime }\left( 0\right) }.$$

(环域上的全纯映射) 记 ${A}_{\rho } = \{ 1 < \left| z\right| < \rho \}$ 是环域,假设 $f : {A}_{\rho } \rightarrow \mathbb{C} \smallsetminus \{ 0\}$ 全纯. 记圆周 $\gamma = \left\{ {\left| z\right| = {r}_{0}}\right\}$ 其中 ${r}_{0} \in \left( {1,\rho }\right)$ .

1. 证明:平均值函数
   
   $$\psi \left( r\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,r \in \left( {1,\rho }\right)$$
   
   是常值函数.
2. 如果 $w\left( {f\left( \gamma \right) ,0}\right) = 0$ ,证明: 存在全纯函数 $h : {A}_{\rho } \rightarrow \mathbb{C}$ ,使 $f = {\mathrm{e}}^{h}$ . 提示: 利用原函数的存在性判别.
3. 如果 $w\left( {f\left( \gamma \right) ,0}\right) = m \in \mathbb{Z}$ ,证明: 存在全纯函数 $h : {A}_{\rho } \rightarrow \mathbb{C}$ ,使 $f = {z}^{m}{\mathrm{e}}^{h}$ .
4. 如果 $f\left( {A}_{\rho }\right) \subset {A}_{R}$ ，证明不等式
   
   $$\left| {w\left( {f\left( \gamma \right) ,0}\right) }\right| \leq \frac{\log \left( R\right) }{\log \left( \rho \right) }.$$