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实变函数综合训练卷

命题人：阳光海岸数学

科目：实变函数题数：10 道总分：选填建议用时：选填

1. 题库 #13065

实变函数提高
试证明下列命题:
(1) 设 f∈AC([0,1])f \in \mathrm{AC}\left( \left[ {0,1}\right] \right) ，则存在 fi∈AC([0,1])(i=1,2){f}_{i} \in \mathrm{AC}\left( \left[ {0,1}\right] \right) \left( i = 1,2 \right) 且递增， 使得 f(x)=f1(x)−f2(x)f\left( x\right) = {f}_{1}\left( x\right) - {f}_{2}\left( x\right) .
(2) 假设 f(x)f\left( x\right) 是定义在 [a,b]\left[ {a,b}\right] 上的单调上升函数，则 ff 可分解为: f(x)=g(x)+h(x)(x∈[a,b])f\left( x\right) = g\left( x\right) + h\left( x\right) \left( {x \in \left[ {a,b}\right] }\right) ,其中, g(x)g\left( x\right) 是单调上升的并且绝对连续的函数, h(x)h\left( x\right) 是单调上升函数而且 h′(x)=0{h}^{\prime }\left( x\right) = 0 , a.e. x∈[a,b]x \in \left[ {a,b}\right] .
(3) 设 f∈AC([a,b])f \in \mathrm{AC}\left( \left[ {a,b}\right] \right) ，则 f+{f}^{ + } ， f−∈AC([a,b]){f}^{ - } \in \mathrm{AC}\left( \left[ {a,b}\right] \right) .
(4) 存在 f∈C([0,1])∖AC([0,1])f \in C\left( \left[ {0,1}\right] \right) \setminus {AC}\left( \left[ {0,1}\right] \right) ，而 f∈AC([0,a])(0<a<1)f \in {AC}\left( \left[ {0,a}\right] \right) \left( 0 < a < 1 \right) .

2. 题库 #13095

实变函数提高
试证明下列命题:
(1) 设 λ∈R\lambda \in \mathbf{R} ，则 4sin⁡2λ−λ⋅sin⁡(2λ)≤2λ24{\sin }^{2}\lambda - \lambda \cdot \sin \left( 2\lambda \right) \leq 2{\lambda }^{2} .
(2) 设 f∈L2([0,1])f \in {L}^{2}\left( \left[ {0,1}\right] \right) . 令 g(x)=∫01f(t)∣x−t∣1/2 dt(0<x<1)g\left( x\right) = {\int }_{0}^{1}\frac{f\left( t\right) }{{\left| x - t\right| }^{1/2}}\,\mathrm{d}t\left( 0 < x < 1 \right) ，则

(∫01g2(x)dx)1/2≤22(∫01f2(x)dx)1/2. {\left( {\int }_{0}^{1}{g}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x\right) }^{1/2} \leq 2\sqrt{2}{\left( {\int }_{0}^{1}{f}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x\right) }^{1/2}.
(3) 设 p,q,rp,q,r 是正数，且 0<t<1/(p+q+r)0 < t < 1/\left( p + q + r \right) . 则

I=∫02dx(xp⋅∣x−1∣q∣x−2∣r)t<+∞. I = {\int }_{0}^{2}\frac{\mathrm{d}x}{{\left( {x}^{p} \cdot {\left| x - 1\right| }^{q}{\left| x - 2\right| }^{r}\right) }^{t}} < + \infty .

3. 题库 #12844

实变函数提高
试证明下列命题:
(1) (一 1 ，1) ∼R\sim \mathbf{R} ；
(2) [−1,1]∼R\left[ {-1,1}\right] \sim \mathbf{R} ；
(3) N×N∼N\mathbf{N} \times \mathbf{N} \sim \mathbf{N} .

4. 题库 #12616

实变函数提高
证明: 存在可测集 E⊂[0,1]E \subset \left\lbrack {0,1}\right\rbrack ,满足对任意 (a,b)⊂[0,1]\left( {a,b}\right) \subset \left\lbrack {0,1}\right\rbrack ,

m(E∩(a,b))>0,m(Ec∩(a,b))>0. m\left( {E \cap \left( {a,b}\right) }\right) > 0,m\left( {{E}^{c} \cap \left( {a,b}\right) }\right) > 0.

5. 题库 #12840

实变函数提高
试证明下列命题:
(1) 设 A1⊂A2⊂⋯⊂An⊂⋯ ,B1⊂B2⊂⋯⊂Bn⊂⋯{A}_{1} \subset {A}_{2} \subset \cdots \subset {A}_{n} \subset \cdots ,{B}_{1} \subset {B}_{2} \subset \cdots \subset {B}_{n} \subset \cdots ,则

(⋃n=1∞An)∩(⋃n=1∞Bn)=⋃n=1∞(An∩Bn). \left( {\mathop{\bigcup }\limits_{n = 1}^{\infty }{A}_{n}}\right) \cap \left( {\mathop{\bigcup }\limits_{n = 1}^{\infty }{B}_{n}}\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{n = 1}^{\infty }\left( {{A}_{n} \cap {B}_{n}}\right) .
(2) 设 A1⊃A2⊃⋯⊃An⊃⋯ ,B1⊃B2⊃⋯⊃Bn⊃⋯⊃⋯{A}_{1} \supset {A}_{2} \supset \cdots \supset {A}_{n} \supset \cdots ,{B}_{1} \supset {B}_{2} \supset \cdots \supset {B}_{n} \supset \cdots \supset \cdots ,则

(⋂n=1∞An)∪(⋂n=1∞Bn)=⋂n=1∞(An∪Bn). \left( {\mathop{\bigcap }\limits_{n = 1}^{\infty }{A}_{n}}\right) \cup \left( {\mathop{\bigcap }\limits_{n = 1}^{\infty }{B}_{n}}\right) = \mathop{\bigcap }\limits_{n = 1}^{\infty }\left( {{A}_{n} \cup {B}_{n}}\right) .
(3) 设 En={(x,y):x2+(y−n)2<n}{E}_{n} = \left\{ {\left( x,y \right) : \sqrt{{x}^{2} + {\left( y - n\right) }^{2}} < n}\right\} ，则

⋃n=1∞En={(x,y):x∈R,y>0}. \mathop{\bigcup }\limits_{n = 1}^{\infty }{E}_{n} = \{ \left( x,y \right) : x \in \mathbf{R},y > 0\} .
(4) 设 0<a<b0 < a < b ，则对任意的正整数 kk ，存在实数 λ\lambda ，使得

⋃n=k∞[na,nb]⊃[λ,∞). \mathop{\bigcup }\limits_{n = k}^{\infty }\left[ {{na},{nb}}\right] \supset [ \lambda ,\infty ).
(5) 设 E1⊂E2⊂⋯⊂Ek⊂⋯ ,A⊂⋃k=1∞Ek{E}_{1} \subset {E}_{2} \subset \cdots \subset {E}_{k} \subset \cdots ,A \subset \mathop{\bigcup }\limits_{k = 1}^{\infty }{E}_{k} ,且对 AA 的任一无限子集 BB ,均存在某个 Ei{E}_{i} ,使得 Ei∩B{E}_{i} \cap B 为无限集,则 AA 必含于某个 Ek0{E}_{{k}_{0}} 中.

6. 题库 #12604

实变函数提高
设 {En}\left\{ {E}_{n}\right\} 是一列可测集,证明 lim⁡n→∞En\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }{E}_{n} 和 lim⁡n→∞‾En\overline{\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }}{E}_{n} 都是可测集,且

m(lim⁡n→∞En)≤lim⁡n→∞mEnm\left( {\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }{E}_{n}}\right) \leq \mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }m{E}_{n} ;

若 m(⋃n=1∞En)<∞m\left( {\mathop{\bigcup }\limits_{n = 1}^{\infty }{E}_{n}}\right) < \infty ,则 lim⁡n→∞‾mEn≤m(lim⁡n→∞‾En)\overline{\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }}m{E}_{n} \leq m\left( {\overline{\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }}{E}_{n}}\right) .

7. 题库 #13129

实变函数提高
试证明下列命题:
(1) 设 f(x,y)f\left( x,y \right) 是 [0,1]×[0,1]\left[ {0,1}\right] \times \left[ {0,1}\right] 上可测函数， E={(x,y):0≤∣x∣  ≤y≤1}E = \{ \left( x,y \right) : 0 \leq \left| x\right| \; \leq y \leq 1\} . 若 f∈L2(E)f \in {L}^{2}\left( E\right) ,则 lim⁡y→0∫−yy∣f(x,y)∣dx=0\mathop{\lim }\limits_{y \rightarrow 0}{\int }_{-y}^{y}\left| {f\left( x,y \right) }\right| \mathrm{d}x = 0 .
(2) 设 fn∈C([0,1])(n∈N){f}_{n} \in C\left( \left[ {0,1}\right] \right) \left( {n \in \mathbf{N}}\right) ， ∥fn−fm∥2→0(n,m→∞){\begin{Vmatrix}{f}_{n} - {f}_{m}\end{Vmatrix}}_{2} \rightarrow 0\left( n,m \rightarrow \infty \right) . 又 K(x,y)K\left( x,y \right) 是 [0,1]×[0,1]\left[ {0,1}\right] \times \left[ {0,1}\right] 上的连续函数,且令

Fn(x)=∫01K(x,y)fn(y)dy  (n∈N), {F}_{n}\left( x\right) = {\int }_{0}^{1}K\left( x,y \right) {f}_{n}\left( y\right) \mathrm{d}y\;\left( {n \in \mathbf{N}}\right) ,

则 {Fn(x)}\left\{ {{F}_{n}\left( x\right) }\right\} 在 [0,1]\left[ {0,1}\right] 上一致收敛.

8. 题库 #13106

实变函数提高
试证明下列命题:
(1) 设 f(x)f\left( x\right) 是 (0,1](0,1] 上的非负可测函数,且对任意的 δ>0,f∈  L1((δ,1])\delta > 0,f \in \; {L}^{1}\left( (\delta ,1] \right) . 若 xp−1fp(x)(p>1){x}^{p - 1}{f}^{p}\left( x\right) \left( p > 1 \right) 属于 L1((0,1]){L}^{1}(\left( 0,1] \right) ,则

F(x)≜∫x1f(t)dt=o(ln⁡1x)1−1p,  x→0+. F\left( x\right) \triangleq {\int }_{x}^{1}f\left( t\right) \mathrm{d}t = o{\left( \ln \frac{1}{x}\right) }^{1 - \frac{1}{p}},\;x \rightarrow {0}^{ + }.
(2) 设对任意的 ε>0,f(x)\varepsilon > 0,f\left( x\right) 在 [ε,1]\left[ {\varepsilon ,1}\right] 上绝对连续，且有

∫01x∣f′(x)∣p dx<+∞  (p>2), {\int }_{0}^{1}x{\left| {f}^{\prime }\left( x\right) \right| }^{p}\,\mathrm{d}x < + \infty \;\left( p > 2 \right) ,

则存在极限 lim⁡x→0f(x)\mathop{\lim }\limits_{x \rightarrow 0}f\left( x\right) .
(3) 设 f∈Lp(R)(p>1),1/p+1/p′=1f \in {L}^{p}\left( \mathbf{R}\right) \left( p > 1 \right) ,1/p + 1/{p}^{\prime } = 1 ，令 F(x)=∫0xf(t)dtF\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t ， x∈Rx \in \mathbf{R} ,则

∣F(x+h)−F(x)∣=o(∣h∣1/p′),  h→0. \left| {F\left( x + h \right) - F\left( x\right) }\right| = o\left( {\left| h\right| }^{1/{p}^{\prime }}\right) ,\;h \rightarrow 0.
(4) 设 f(x)f\left( x\right) 在 R\mathbf{R} 上可微,若 f∈L2(R),f′∈L2(R)f \in {L}^{2}\left( \mathbf{R}\right) ,{f}^{\prime } \in {L}^{2}\left( \mathbf{R}\right) ,则 f(x)→0  (x→∞)f\left( x\right) \rightarrow 0 \; \left( x \rightarrow \infty \right) .

9. 题库 #12619

实变函数拔尖
证明: f(x)f\left( x\right) 在 EE 上可测的充要条件是对任一有理数 rr ,集合 E[f>r]E\left\lbrack {f > r}\right\rbrack 可测. 如果集合 E[f=r]E\left\lbrack {f = r}\right\rbrack 可测,问 f(x)f\left( x\right) 是否可测?

10. 题库 #12969

实变函数提高
试证明下列命题:
(1) 设 f(x)f\left( x\right) 与 g(x)g\left( x\right) 是 E⊂RE \subset \mathbf{R} 上非负可测函数，且 m(E)=1m\left( E\right) = 1 . 若有 f(x)g(x)≥1,x∈Ef\left( x\right) g\left( x\right) \geq 1,x \in E ,则

(∫Ef(x)dx)(∫Eg(x)dx)≥1. \left( {{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x}\right) \left( {{\int }_{E}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right) \geq 1.
(2) 设 f(x)f\left( x\right) 是 R\mathbf{R} 上非负可积函数，令

F(x)=∫(−∞,x]f(t)dt,  x∈R. F\left( x\right) = {\int }_{( - \infty ,x] }f\left( t\right) \mathrm{d}t,\;x \in \mathbf{R}.

若 F∈L(R)F \in L\left( \mathbf{R}\right) ,则 ∫Rf(x)dx=0{\int }_{\mathbf{R}}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0 .
(3) 设 f(x)f\left( x\right) 是 [0,1]\left[ {0,1}\right] 上非负递增函数，则对 [0,1]\left[ {0,1}\right] 中的可测集 EE : m(E)=em\left( E\right) = e ,有

∫0ef(x)dx≤∫Ef(x)dx. {\int }_{0}^{\mathrm{e}}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq {\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x.

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实变函数拔尖
证明: 点集 FF 为闭集的充要条件是 Fˉ=F\bar{F} = F .
实变函数提高
解答下列问题:
(1) 试作 R\mathbf{R} 上正值可测函数 f(x)f\left( x\right) ，它在任一区间上都不可积.
(2) 设 f(x),g(x)f\left( x\right) ,g\left( x\right) 是 E⊂RnE \subset {\mathbf{R}}^{n} 上的非负可测函数. 若 f(x)=g(x)f\left( x\right) = g\left( x\right) ， a.e. x∈Ex \in E ,试证明 ∫Ef(x)dx=∫Eg(x)dx{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{E}g\left( x\right) \mathrm{d}x .
(3) 设 f1(x),⋯ ,fm(x){f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right) 是 EE 上非负可积函数,试证明

(i) F(x)=(∑k=1m[fk(x)]2)1/2F\left( x\right) = {\left( \mathop{\sum }\limits_{k = 1}^{m}{\left[ {f}_{k}\left( x\right) \right] }^{2}\right) }^{1/2} 在 EE 上可积;

(ii) G(x)=∑1≤i,k≤m(fi(x)fk(x))1/2G\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{1 \leq i,k \leq m}{\left( {f}_{i}\left( x\right) {f}_{k}\left( x\right) \right) }^{1/2} 在 EE 上可积.
(4) 试问 f(x)=[1+(1+x)e−x]/(1+x2)f\left( x\right) = \left[ {1 + \left( 1 + x \right) {\mathrm{e}}^{-x}}\right] /\left( {1 + {x}^{2}}\right) 在 [0,∞)[ 0,\infty ) 上可积吗?
(5) 设 f(x)f\left( x\right) 是 E⊂RnE \subset {\mathbf{R}}^{n} 上几乎处处大于零的可测函数，且满足 ∫Ef(x)dx=0{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0 ,试证明 m(E)=0m\left( E\right) = 0 .
实变函数拔尖
试证明下列命题:
(1) 设 f(x)f\left( x\right) 在 EE 上非负可测,则点集

Y={y∈R:m({x∈E:f(x)=y})≠0} Y = \{ y \in \mathbf{R} : m\left( {\{ x \in E : f\left( x\right) = y\} }\right) \neq 0\}

是可数集.
(2) 设 f∈L([0,1])f \in L\left( \left[ {0,1}\right] \right) ，且是周期为 1 的周期函数. 令 Sk(x)=  12k∑i=12kf(x+i2k)(k∈N){S}_{k}\left( x\right) = \; \frac{1}{{2}^{k}}\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{{2}^{k}}f\left( {x + \frac{i}{{2}^{k}}}\right) \left( {k \in \mathbf{N}}\right) ,则

lim⁡k→∞Sk(x)=∫01f(t)dt,   a.e. x∈[0,1]. \mathop{\lim }\limits_{k \rightarrow \infty }{S}_{k}\left( x\right) = {\int }_{0}^{1}f\left( t\right) \mathrm{d}t,\;\text{ a.e. }x \in \left[ {0,1}\right] .

注 对于 gk(x)=1k∑i=1kf(x+ik){g}_{k}\left( x\right) = \frac{1}{k}\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{k}f\left( {x + \frac{i}{k}}\right) ,极限 lim⁡k→∞gk(x)\mathop{\lim }\limits_{k \rightarrow \infty }{g}_{k}\left( x\right) 可以几乎处处不存在.
(3) 设 m(E)<+∞,f(x)m\left( E\right) < + \infty ,f\left( x\right) 是 EE 上的可测函数，且有 0≤f(x)<  M(x∈E)0 \leq f\left( x\right) < \; M\left( x \in E \right) . 对分划 Δ:0=t0<t1<t2<⋯<tn=M\Delta : 0 = {t}_{0} < {t}_{1} < {t}_{2} < \cdots < {t}_{n} = M ,作 Ej={x∈E{E}_{j} = \{ x \in E : f(x)≥tj}(j=1,2,⋯ ,n−1)\left. {f\left( x\right) \geq {t}_{j}}\right\} \left( j = 1,2,\cdots ,n - 1 \right) ,且记 SΔ=∑j=1n−1(tj−tj−1)m(Ej){S}_{\Delta } = \mathop{\sum }\limits_{j = 1}^{n - 1}\left( {{t}_{j} - {t}_{j - 1}}\right) m\left( {E}_{j}\right) ,则

sup⁡Δ{SΔ}=∫Ef(x)dx. \mathop{\sup }\limits_{\Delta }\left\{ {S}_{\Delta }\right\} = {\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
(4) 设 f(x)f\left( x\right) 是 R\mathbf{R} 上具有正周期 TT 的可测函数，且 ∫0T∣f(x)∣dx<  ∞{\int }_{0}^{T}\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x < \; \infty ,则

lim⁡x→+∞12x∫−xxf(t)dt=1T∫0Tf(x)dx. \mathop{\lim }\limits_{x \rightarrow + \infty }\frac{1}{2x}{\int }_{-x}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T}{\int }_{0}^{T}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
实变函数提高
试证明下列命题:
(1) 设 f(x)f\left( x\right) 是 R\mathbf{R} 上的实值可测函数，对 (−1,1)\left( -1,1 \right) 中任意取定的 xx ， etxf(t){\mathrm{e}}^{tx}f\left( t\right) 在 R\mathbf{R} 上可积,且令 g(x)=∫Rextf(t)dtg\left( x\right) = {\int }_{\mathbf{R}}{\mathrm{e}}^{xt}f\left( t\right) \mathrm{d}t ,则 g(x)g\left( x\right) 在 (−1,1)\left( -1,1 \right) 上可积.
(2) 设 f(x,t)f\left( x,t \right) 定义在 (a,b)×(a,b)\left( a,b \right) \times \left( a,b \right) 上,且对取定的 t∈(a,b)t \in \left( a,b \right) , f(x,t)f\left( x,t \right) 是 xx 在 (a,b)\left( a,b \right) 上的连续可微函数; 对取定的 x∈(a,b),f(x,t)x \in \left( a,b \right) ,f\left( x,t \right) 是 tt 在 (a,b)\left( a,b \right) 上的连续函数. 若存在 F∈L((a,b))F \in L\left( \left( a,b \right) \right) ,使得 ∣fx′(x,t)∣≤  F(t)\left| {{f}_{x}^{\prime }\left( x,t \right) }\right| \leq \; F\left( t\right) ,则 g(x)=∫axf(x,t)dtg\left( x\right) = {\int }_{a}^{x}f\left( x,t \right) \mathrm{d}t 在 (a,b)\left( a,b \right) 上可微,且有 g′(x)=f(x,x)+  ∫axfx′(x,t)dt.{g}^{\prime }\left( x\right) = f\left( x,x \right) + \; {\int }_{a}^{x}{f}_{x}^{\prime }\left( x,t \right) \mathrm{d}t.

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