组卷台

考虑一个由电感 $L$ ,电容 $C$ 和电源 $E$ 串联组成的简单闭合电路,其中 $E = {E}_{0}\sin {\omega t}$ . 试证当 $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ 时,将发生共振现象,且当 $t \rightarrow \infty$ 时,电位差 $v\left( t\right)$ 变得无界.

用轻弹簧连接质量同为 $m$ 的两个小球，设弹簧未拉长时的长度为 $l_0$.当它被拉长到长度为 $l_1$ 时，让两小球位于一条铅垂线上，并开始降落.经过 $T\ \mathrm{s}$ 后，弹簧又缩到长度为 $l_0$.试在不计阻力的情况下，求出这两个小球的运动轨迹.

设二阶线性非齐次微分方程 ${y}^{\prime \prime } + p\left( x\right) {y}^{\prime } + q\left( x\right) y = f\left( x\right)$ 有三个特解为 $x,{\mathrm{e}}^{x},{\mathrm{e}}^{-x}$ ,则该方程的通解为$\underline{\qquad}$.

设在 ${Oxy}$ 平面上 $f\left( {x,y}\right)$ 连续可微,给定方程组

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = y - {xf}\left( {x,y}\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = - x - {yf}\left( {x,y}\right) ,$$

证明若在原点的某邻域内有 $f\left( {x,y}\right) > 0$ ,则零解渐近稳定,若有 $f\left( {x,y}\right) < 0$ ,则零解不稳定.

设 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon$ 都是正数, $x \geq 0,y \geq 0$ ,求出方程组

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = - {\alpha x} + \beta {x}^{2} - {\gamma xy},\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = - {\delta y} + {\varepsilon xy}$$

的所有定常解并讨论其稳定性.

取步长 $h = {0.1}$ ,用四阶 Runge-Kutta 公式计算积分

$${\int }_{0}^{1}{\mathrm{e}}^{-{t}^{2}}\mathrm{d}t$$

的近似值.

求边值问题
$$\begin{cases} \dfrac{\dif^2 y}{\dif x^2} - \lambda y = 0, \\ y'(0) = y'(\pi) = 0 \end{cases}$$
的特征值和特征函数.

设 $f\left( x\right)$ 有二阶连续导数,且 $f\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}f\left( {1 - t}\right) {dt} + 1$ ,则 $f\left( x\right) =$$\underline{\qquad}$.

把例
1.2 和例
1.3 的微分方程化成规范的一阶方程组形式.

例
1.2 其微分方程为
$$\ddot{\theta} = - \frac{g}{l}\sin \theta .$$
例
1.3 其微分方程为
$$m\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}} + \mu \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + kx = 0.$$

证明系统 $\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{f}\left( \mathbf{x}\right)$ 的任一轨道的极限集都是闭集.