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微分几何综合训练卷

命题人：阳光海岸数学

科目：微分几何题数：10 道总分：选填建议用时：选填

1. 题库 #13890

微分几何基础
求单参数平面族 a2x+2ay+2z=2a{a}^{2}x + {2ay} + {2z} = {2a} 的包络.

2. 题库 #14009

微分几何提高
求通过柱坐标系在 E3{E}^{3} 中建立的单位正交标架场，并且求它的相对分量.

3. 题库 #13940

微分几何拔尖
设容许的参数变换是 uα=uα(v1,v2){u}^{\alpha } = {u}^{\alpha }\left( {{v}^{1},{v}^{2}}\right)，命 aβα=∂uα∂vβ{a}_{\beta }^{\alpha } = \frac{\partial {u}^{\alpha }}{\partial {v}^{\beta }}，并假定 det⁡(aβα)>0\det \left( {a}_{\beta }^{\alpha }\right) > 0。用 (gαβ)\left( {g}^{\alpha \beta }\right) 表示曲面在参数系 (u1,u2)\left( {{u}^{1},{u}^{2}}\right) 下第一基本形式矩阵 (gαβ)\left( {g}_{\alpha \beta }\right) 的逆矩阵，用 (g~αβ)\left( {\widetilde{g}}^{\alpha \beta }\right) 表示参数系 (v1,v2)\left( {{v}^{1},{v}^{2}}\right) 下第一基本形式矩阵 (g~αβ)\left( {\widetilde{g}}_{\alpha \beta }\right) 的逆矩阵。证明：

gαβ=g~γδaγαaδβ. {g}^{\alpha \beta } = {\widetilde{g}}^{\gamma \delta }{a}_{\gamma }^{\alpha }{a}_{\delta }^{\beta }.

4. 题库 #13957

微分几何提高
已知曲面 SS 和 S~\widetilde{S} 的第一基本形式分别是

I=(du)2+(1+u2)(dv)2 \mathrm{I} = {\left( \mathrm{d}u\right) }^{2} + \left( {1 + {u}^{2}}\right) {\left( \mathrm{d}v\right) }^{2}

I~=u~2u~2−1du~2+u~2dv~2 \widetilde{\mathrm{I}} = \frac{{\widetilde{u}}^{2}}{{\widetilde{u}}^{2} - 1}\mathrm{d}{\widetilde{u}}^{2} + {\widetilde{u}}^{2}\mathrm{d}{\widetilde{v}}^{2}

试问： 在曲面 SS 和 S~\widetilde{S} 之间是否存在保长对应？

5. 题库 #13797

微分几何基础
设空间 E3{E}^{3} 中一条正则参数曲线 r(t)\mathbf{r}\left( t\right) 的切向量 r′(t){\mathbf{r}}^{\prime }\left( t\right) 与一个固定的方向向量 a\mathbf{a} 垂直，证明：该曲线落在一个平面内.

6. 题库 #13907

微分几何基础
设 nn 是正整数,则曲线 αn=(rcos⁡t,rsin⁡t,sign⁡t⋅∣t∣n)\mathbf{\alpha}_{n} = \left( {r\cos t,r\sin t,\operatorname{sign}t \cdot {\left| t\right| }^{n}}\right) 落在圆柱面 x2+y2=r2{x}^{2} + {y}^{2} = {r}^{2} 上. 试求曲线 αn\mathbf{\alpha}_{n} 在 t=0t = 0 处的法曲率. 验证: 当 n>2n > 2 时,曲线 αn\mathbf{\alpha}_{n} 在 t=0t = 0 处的曲率中心在一个圆周上. 写出该圆周的方程.

7. 题库 #13935

微分几何提高
证明： 如果从曲面 SS 到单位球面 Σ\Sigma 的 Gauss 映射是保角对应, 则该曲面 SS 或者是球面,或者是极小曲面.

8. 题库 #13830

微分几何基础
确定函数 φ(t)\varphi \left( t\right) 使得曲线 r(t)=(t,sin⁡t,φ(t))\mathbf{r}\left( t\right) = \left( {t,\sin t,\varphi \left( t\right) }\right) 的主法线都平行于 Oyz{Oyz} 平面.

9. 题库 #13853

微分几何基础
考虑方程

r=(ucos⁡v,usin⁡v,k2−u2),  k>0. \mathbf{r} = \left( {u\cos v,u\sin v,\sqrt{{k}^{2} - {u}^{2}}}\right) ,\;k > 0.

这表示一张什么曲面？ 参数 u,vu,v 的几何意义是什么？

10. 题库 #13885

微分几何提高
证明： 单参数直线族

y=ux−u3,  z=u3y−u6 y = {ux} - {u}^{3},\;z = {u}^{3}y - {u}^{6}

生成一个可展曲面,其中 uu 是直线族的参数.

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微分几何基础
求由圆螺旋线的主法线所构成的曲面的参数方程. 这是一张什么曲面？
微分几何提高
假定在方程

x2a−λ+y2b−λ+z2c−λ=1 \frac{{x}^{2}}{a - \lambda } + \frac{{y}^{2}}{b - \lambda } + \frac{{z}^{2}}{c - \lambda } = 1

中, a,b,ca,b,c 是常数,并且 a>b>c,λa > b > c,\lambda 是参数. 当 λ∈(−∞,c)\lambda \in \left( {-\infty ,c}\right) 时,方程给出一族椭球面; 当 λ∈(c,b)\lambda \in \left( {c,b}\right) 时,方程给出一族单叶双曲面; 当 λ∈(b,a)\lambda \in \left( {b,a}\right) 时, 方程给出一族双叶双曲面. 证明： 经过空间中不在各坐标面上的任意一点有且只有分别属于这三族曲面的三个二次曲面, 并且它们沿交线是彼此正交的.
微分几何拔尖
已知曲面 SS 的第一基本形式和第二基本形式分别是

I=u2((du)2+(dv)2) \mathrm{I} = {u}^{2}\left( {{\left( \mathrm{d}u\right) }^{2} + {\left( \mathrm{d}v\right) }^{2}}\right)

II=A(u,v)(du)2+B(u,v)(dv)2, \mathrm{II} = A\left( {u,v}\right) {\left( \mathrm{d}u\right) }^{2} + B\left( {u,v}\right) {\left( \mathrm{d}v\right) }^{2},

证明： 函数 A(u,v),B(u,v)A\left( {u,v}\right) ,B\left( {u,v}\right) 满足关系式

A(u,v)⋅B(u,v)=1, A\left( {u,v}\right) \cdot B\left( {u,v}\right) = 1,

并且它们只是 uu 的函数.
微分几何提高
求下列曲线在指定范围内的弧长:
（1）r(t)=(cosh⁡t,sinh⁡t,t),−1≤t≤1\mathbf{r}\left( t\right) = \left( {\cosh t,\sinh t,t}\right) , - 1 \leq t \leq 1 ;
（2）r(t)=(sin⁡2t,sin⁡tcos⁡t,log⁡cos⁡t),[0,t0]\mathbf{r}\left( t\right) = \left( {{\sin }^{2}t,\sin t\cos t,\log \cos t}\right) ,\left[ {0,{t}_{0}}\right] ;
（3）r(t)=(t+a2/t,t−a2/t,2alog⁡(t/a))\mathbf{r}\left( t\right) = \left( {t + {a}^{2}/t,t - {a}^{2}/t,{2a}\log \left( {t/a}\right) }\right) ,在曲线与 xx 轴的交点和参数为 t0{t}_{0} 的点之间;
（4）曳物线 r(t)=(cos⁡t,log⁡(sec⁡t+tan⁡t)−sin⁡t),[0,t0]\mathbf{r}\left( t\right) = \left( {\cos t,\log \left( {\sec t + \tan t}\right) - \sin t}\right) ,\left[ {0,{t}_{0}}\right] ;
（5）曲线 y=x2/2a,z=x3/6a2y = {x}^{2}/{2a},z = {x}^{3}/6{a}^{2} 在原点 O(0,0,0)O\left( {0,0,0}\right) 和点 p(x0,y0,z0)p\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right) 之间.

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