组卷台

如果一个交换环 $R$ 的每个元素 $a$ 满足 ${a}^{2} = a$ ,那 $R$ 叫做一个布尔 (Boole) 环. 证明布尔环 $R$ 有如下性质:

1. (i) ${2a} = 0$ ,对所有的 $a \in R$ ;
2. (ii) 每个素理想 $I$ 都极大而且 $R/I$ 是特征 2 的素域;
3. (iii) $R$ 的每个有限生成的理想都可由一个元素生成.

设 $H<G$. 证明：

1. 对任意 $g\in G$，
   $$gHg^{-1}=\{gxg^{-1}\mid x\in H\}$$
   也是 $G$ 的子群，称为 $H$ 的共轭子群；
2. 若 $[G:H]=n$，则 $H$ 的共轭子群的个数有限，且是 $n$ 的因数.

设 $P(X)$ 为非空集合 $X$ 的幂集. 对任意 $A,B\in P(X)$，定义对称差
$$A\mathbin{\triangle}B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A), \qquad A\setminus B=\{x\in A\mid x\notin B\}.$$
证明 $(P(X),\triangle)$ 为群. 当 $X$ 只含两个元素时，写出该群的群表；此群称为 Klein 群.

设 $m$ 是一个无平方因子的整数且 $m \neq 0,1$ ,令 $F = \mathbf{Q}\left( \sqrt{m}\right) = \{ a + b\sqrt{m} \mid a,b \in \mathbf{Q}\}$ , 则 $F$ 是一个域,叫做有理数域 $\mathbf{Q}$ 上的二次域. $F$ 中有一个子集 $R$ 定义如下:

当 $m \equiv 2$ 或 $3\left( {\;\operatorname{mod}\;4}\right)$ 时, $R = \{ a + b\sqrt{m} \mid a,b \in \mathbf{Z}\}$ ;

当 $m \equiv 1\left( {\;\operatorname{mod}\;4}\right)$ 时, $R = \left\{ {a + b\frac{1 + \sqrt{m}}{2} \mid a,b \in \mathbf{Z}}\right\}$ .

证明 $R$ 是 $F$ 的一个子环. $R$ 以后分别记作 $\mathbf{Z}\left[ \sqrt{m}\right] ,\mathbf{Z}\left[ \frac{1 + \sqrt{m}}{2}\right]$ (即 $\text{ § }2$ 中的 ${R}_{m}$ ), $R$ 叫做 $F$ 的代数整数环.

决定 ${x}^{6} + 2{x}^{3} + 2$ 在 ${\mathbf{F}}_{3} = \mathbf{Z}/\left( 3\right)$ 上的分裂域.

证明: 若 ${x}^{n} - a \in F\left[ x\right]$ 不可约,则对于任一正整数 $m \mid n,{x}^{m} - a$ 在 $F$ 上也不可约.

设 $R=\Z[\sqrt{-5}]$. 证明若 $a^2+5b^2=9$，则 $a+b\sqrt{-5}$ 不可约；再证明 $6+3\sqrt{-5}$ 与 $9$ 在 $R$ 中不存在最大公因子.

求证 $T = \left\{ {\left. \left( \begin{array}{ll} a & 0 \\ b & c \end{array}\right) \right| \;a,b,c \in \mathbb{Z}}\right\}$ 是环 ${M}_{2}\left( \mathbb{Z}\right)$ 的子环; 试决定环 $T$ 的所有理想.

设 $E = F\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right)$ 为域 $F$ 上 $n$ 个未定元 ${x}_{1},\cdots ,{x}_{n}$ 的有理分式域,它是多项式环 $R = F\left[ {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right]$ 的商环. 对于 $n$ 元对称群 ${S}_{n}$ 的每个置换 $\pi$ ,如书中所规定的, $\pi$ 决定了 $E$ 的一个 $F$ 自同构 ${\sigma }_{\pi }$ . 证明:

1. (i) 设 $f\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) ,g\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) \in R$ 互素,则 ${\sigma }_{\pi }\left( \frac{f}{g}\right) = \frac{f}{g}$ (对所有的 $\pi \in {S}_{n}$ ) 当且仅当 ${\sigma }_{\pi }\left( f\right) = f$ 和 ${\sigma }_{\pi }\left( g\right) = g$ (对所有的 $\pi \in {S}_{n}$ ).
2. (ii) 设 ${A}_{n}$ 为 $n$ 元交错群. 令 $G = \left\{ {{\sigma }_{\pi } \mid \pi \in {S}_{n}}\right\} ,H = \left\{ {{\sigma }_{\pi } \mid \pi \in {A}_{n}}\right\}$ ,令 $K$ 表示 $G$ 的不动域. 令
   
   $${\Delta }_{ + } = \mathop{\sum }\limits_{{\pi \in {A}_{n}}}{x}_{\pi \left( 1\right) }^{0}{x}_{\pi \left( 2\right) }^{1}\cdots {x}_{\pi \left( n\right) }^{n - 1}$$
   
   $${\Delta }_{ - } = \mathop{\sum }\limits_{{\pi \in {S}_{n} \setminus {A}_{n}}}{x}_{\pi \left( 1\right) }^{0}{x}_{\pi \left( 2\right) }^{1}\cdots {x}_{\pi \left( n\right) }^{n - 1},$$
   
   $$\Delta = \mathop{\prod }\limits_{i < j}\left( {{x}_{i} - {x}_{j}}\right)$$
   
   则 $\Delta = {\Delta }_{ + } - {\Delta }_{ - }$ ,而且 $K\left( {\Delta }_{ + }\right) = K\left( {\Delta }_{ - }\right)$ 是 $H$ 的不动域. 特别地,当 $F$ 的特征 $\neq 2$ 时, $K\left( \Delta \right) = K\left( {\Delta }_{ + }\right)$ .

设 $E = {\mathbf{F}}_{p}\left( t\right)$ 为单超越扩张, $\sigma \in \operatorname{Gal}\left( {E/{\mathbf{F}}_{p}}\right)$ 使得 $\sigma \left( t\right) = t + 1$ . 令 $G = \left( \sigma \right)$ ,试决定 $G$ 的不动域.