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数列与函数极限

实数与函数

数列极限

函数极限与连续

一元函数微分学

导数与微分

中值定理与 Taylor 公式

不定积分

原函数与积分方法

定积分与反常积分

定积分与反常积分

含参变量积分

级数

数项级数

函数列与函数项级数

Fourier 级数

多元函数微分

多元函数极限与连续

多元函数微分学

二重积分与三重积分

重积分

曲线与曲面积分

曲线积分、曲面积分与场论

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数学分析综合训练卷

命题人：阳光海岸数学

科目：数学分析题数：10 道总分：选填建议用时：选填

1. 题库 #30843

数学分析提高武汉大学2015 年
设 0<α<10<\alpha<1 ，连续函数 ff 满足 ∫01∣f(t)∣ dt≤1\int_0^1|f(t)|\,\mathrm dt\le1 。求 ∫01f(tα) dt\int_0^1f(t^\alpha)\,\mathrm dt 的上确界。

2. 题库 #525

数学分析提高中国石油大学(北京)2025 年
已知f(x)={x2sin⁡πx,x>0,A,x=0,ax2+b,x<0,f(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac{\pi}{x},&x>0,\\A,&x=0,\\ax^2+b,&x<0,\end{cases}f(x)f(x) 在 x=0x=0 处可导，求 A,a,bA,a,b.

3. 题库 #30259

数学分析提高南京理工大学2014 年
求椭球面 x2+2y2+3z2=6x^2+2y^2+3z^2=6 在 (1,1,1)(1,1,1) 处的切平面和法线。

4. 题库 #17097

数学分析基础
设
f(x,y)={xyx2+y2,x2+y2≠0,0,x2+y2=0. f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2},&x^2+y^2\ne0,\\ 0,&x^2+y^2=0. \end{cases}
函数 ff 在 (0,0)(0,0) 处关于单变量 xx 与 yy 都是连续的，但在 (0,0)(0,0) 处不全面连续。

5. 题库 #26007

数学分析拔尖新疆大学2024 年
（15 分）设 a,b,c≠0a,b,c\ne0 ，求椭球面 x2a2+y2b2+z2c2=1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 在点 (a/3,b/3,c/3)\left(a/\sqrt3,b/\sqrt3,c/\sqrt3\right) 处的切平面及法线方程。

6. 题库 #29922

数学分析提高北京交通大学2013 年
设 ff 在 [0,∞)[0,\infty) 一致连续，且对每个 x≥0x\ge0 有 f(x+n)→0f(x+n)\to0 。证明 f(x)→0f(x)\to0 （ x→∞x\to\infty ）。

7. 题库 #4879

数学分析提高
设 f(x)f\left( x\right) 在 [0,1]\left\lbrack {0,1}\right\rbrack 上连续,证明

∫01  dy∫yyeyf(x)dx=∫01(ex−ex2)f(x)dx. {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}y{\int }_{y}^{\sqrt{y}}{\mathrm{e}}^{y}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{1}\left( {{\mathrm{e}}^{x} - {\mathrm{e}}^{{x}^{2}}}\right) f\left( x\right) \mathrm{d}x.

8. 题库 #29445

数学分析提高武汉大学2019 年
已知 f(x,y)=xyyxf(x,y)=x^y y^x （ x,y>0x,y>0 ），求全微分。

9. 题库 #31420

数学分析提高
证明方程
x3+px+q=0(p>0) x^3+px+q=0\qquad(p>0)
有且只有一个实根.

10. 题库 #19095

数学分析提高
求由下列曲面围成的立体 Ω\Omega 的体积 VV :
(1) (x2a2+y2b2+z2c2)2=x2yh3  (a,b,c,h>0){\left( \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}\right) }^{2} = \frac{{x}^{2}y}{{h}^{3}}\;\left( {a,b,c,h > 0}\right) .
(2) (x2+y2+z2)2=a3z  (a>0){\left( {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}\right) }^{2} = {a}^{3}z\;\left( {a > 0}\right) .
(3) x2/a2+y2/b2+z2/c2=1,x2/a2+y2/b2=z/c  (a,b,c>0){x}^{2}/{a}^{2} + {y}^{2}/{b}^{2} + {z}^{2}/{c}^{2} = 1,{x}^{2}/{a}^{2} + {y}^{2}/{b}^{2} = z/c\;\left( {a,b,c > 0}\right) .
(4) x2+z2=a2,x2+z2=b2,x2−y2−z2=0  (x>0,a<b){x}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2},{x}^{2} + {z}^{2} = {b}^{2},{x}^{2} - {y}^{2} - {z}^{2} = 0\;\left( {x > 0,a < b}\right) .

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数学分析提高大连理工大学
求

f(x,y)=sin⁡xcos⁡y f(x,y)=\frac{\sin x}{\cos y}

在 (0,0)(0,0) 处的三阶 Taylor 展开。
数学分析提高
试证明下列极限式:
(1) 对 ∫0xet ⁣dt=xeθx,0<θ<1,x>0{\int }_{0}^{x}{\mathrm{e}}^{t}\mathop{}\!\mathrm{d}t = x{\mathrm{e}}^{\theta x},0 < \theta < 1,x > 0 ,则 lim⁡x→+∞θ=1\mathop{\lim }\limits_{x\to+\infty}\theta = 1 .
(2) 设 f∈C(1)([0,1])f \in {C}^{\left( 1\right) }\left( \left[ {0,1}\right] \right) ， f′(0)≠0{f}^{\prime }\left( 0\right) \neq 0 . 则对 ∫0xf(t)dt=f(ξ(x))x,0<x≤1{\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = f\left( {\xi \left( x\right) }\right) x,0 < x \leq 1 中的 ξ(x)\xi \left( x\right) ,有 ξ(x)/x→1/2(x→0+)\xi \left( x\right) /x \rightarrow 1/2\left( {x \rightarrow 0 + }\right) .
(3) 设 f(x)f\left( x\right) 在 [a,b]\left[ {a,b}\right] 上二次可导，且 f′(a)=0,f′′(a)≠0{f}^{\prime }\left( a\right) = 0,{f}^{\prime \prime }\left( a\right) \neq 0 ，则对中值公式 ∫axf(t)dt=f(ξ(x))(x−a){\int }_{a}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = f\left( {\xi \left( x\right) }\right) \left( {x - a}\right) 中的 ξ(x)\xi \left( x\right) ,有 lim⁡x→aξ(x)−ax−a=13.\mathop{\lim }\limits_{x \rightarrow a}\frac{\xi \left( x\right) - a}{x - a} = \frac{1}{\sqrt{3}}.
(4) 设 f∈C([a,b])f \in C\left( \left[ {a,b}\right] \right) ，且 f(x)f\left( x\right) 是正值且严格递增，则对公式

1b−a∫ab[f(x)]p ⁣dx=fp(ξ(p)) \frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{b}{\left[ f\left( x\right) \right] }^{p}\mathop{}\!\mathrm{d}x = {f}^{p}\left( {\xi \left( p\right) }\right)

中的 ξ(p)\xi \left( p\right) ,有 lim⁡p→+∞ξ(p)=b\mathop{\lim }\limits_{p \rightarrow + \infty }\xi \left( p\right) = b .
数学分析提高
求下列幂级数的和 S(x)S\left( x\right) :
(1) ∑n=1∞nxn(∣x∣<1)\mathop{\sum }\limits_{n = 1}^{\infty }n{x}^{n}\left( {\left| x\right| < 1}\right) .
(2) ∑n=1∞xnn(−1≤x<1)\mathop{\sum }\limits_{n = 1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n}\left( {-1 \leq x < 1}\right) .
(3) ∑n=1∞xnn(n+1)(n+2)(∣x∣≤1)\mathop{\sum }\limits_{n = 1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n\left( {n + 1}\right) \left( {n + 2}\right) }\left( {\left| x\right| \leq 1}\right) .
(4) ∑n=1∞x2n−12n−1(∣x∣<1)\mathop{\sum }\limits_{n = 1}^{\infty }\frac{{x}^{{2n} - 1}}{{2n} - 1}\left( {\left| x\right| < 1}\right) .
数学分析提高
试证明下列命题:
(1) 设定义在 (−∞,∞)\left( {-\infty ,\infty }\right) 上的 f(x)f\left( x\right) 满足 f(x)−12f(x/2)=x2,x∈(−∞f\left( x\right) - \frac{1}{2}f\left( {x/2}\right) = {x}^{2},x \in ( - \infty , ∞)\infty ) . 若 f(x)f\left( x\right) 在 x=0x = 0 的某个邻域 U(0)U\left( 0\right) 上有界,则 f(x)=8x2/7f\left( x\right) = 8{x}^{2}/7 .
(2) 设定义在 (−∞,∞)\left( {-\infty ,\infty }\right) 上的 f(x),g(x)f\left( x\right) ,g\left( x\right) 满足

f(x+y)+g(x−y)=2f(x)g(y),  x∈(−∞,∞). f\left( {x + y}\right) + g\left( {x - y}\right) = {2f}\left( x\right) g\left( y\right) ,\;x \in \left( {-\infty ,\infty }\right) .

若 f(x)≠0f\left( x\right) \neq 0 且有 ∣f(x)∣≤1\left| {f\left( x\right) }\right| \leq 1 ,则 ∣g(x)∣≤1\left| {g\left( x\right) }\right| \leq 1 .

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