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概率论与数理统计(非数)综合训练卷

命题人：阳光海岸数学

科目：概率论题数：10 道总分：选填建议用时：选填

1. 题库 #9063

概率论提高
设总体 X∼U(0,θ)(θ>0),(X1,X2,⋯ ,Xn)X \sim U\left({0,\theta }\right) \left({\theta > 0}\right),\left({{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}}\right) 为 XX 的简单随机样本, X(n)=max⁡{X1,X2,⋯ ,Xn}{X}_{\left(n\right) } = \max \left\{ {{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}}\right\}.
(I) 证明: θ^1=2Xˉ,θ^2=n+1nX(n){\widehat{\theta }}_{1} = 2\bar{X},{\widehat{\theta }}_{2} = \frac{n + 1}{n}{X}_{\left(n\right) } 是 θ\theta 的无偏估计;
(II) 当 n≥2n \geq 2 时, θ^1{\widehat{\theta }}_{1} 和 θ^2{\widehat{\theta }}_{2} 哪一个有效?

2. 题库 #10877

概率论提高
设随机变量 XX 的分布函数为 F(x)={1−e−λx,x>0,0, 其他 (λ>0)F\left(x\right) = \left\{ {\begin{array}{ll} 1 - {\mathrm{e}}^{-\sqrt{\lambda x}}, & x > 0, \\ 0, & \text{ 其他 } \end{array}\left({\lambda > 0}\right) }\right.,记 p1=P{X>x}{p}_{1} = P\{ X > x\}, p2=P{X>x+t∣X>t},p3=P{X>x−t∣X>t}{p}_{2} = P\{ X > x + t \mid X > t\},{p}_{3} = P\{ X > x - t \mid X > t\},其中 x>2t>0,x > {2t} > 0, 则‾\underline{\qquad}.

A. p3>p1=p2{p}_{3} > {p}_{1} = {p}_{2}
B. p3>p1>p2{p}_{3} > {p}_{1} > {p}_{2}
C. p3=p2>p1{p}_{3} = {p}_{2} > {p}_{1}
D. p3>p2>p1{p}_{3} > {p}_{2} > {p}_{1}

3. 题库 #8954

概率论提高
设二维随机变量 (X,Y)\left({X,Y}\right) 的联合分布律为

X/Y01−13/169/1611/163/16\begin{array}{c|c|c} X/Y & 0 & 1 \\ - 1 & 3/16 & 9/16 \\ 1 & 1/16 & 3/16 \end{array}
(I) 求 P{min⁡{X,Y}≥0}P\{ \min \{ X,Y\} \geq 0\};
(II) 问 XX 与 YY 是否相互独立? 说明理由.

4. 题库 #9070

概率论提高
设0.50,1.25,0.80,2.00为来自总体 XX 的简单随机样本值， Y=ln⁡XY = \ln X 服从正态分布 N(μ,1)N\left({\mu,1}\right)，已知 Φ(1.96)=0.975\Phi \left({1.96}\right) = {0.975}. 求:
(I) EX{EX};
(II) μ\mu 的置信度为
0.95 的置信区间;
(III) EX的置信度为
0.95 的置信区间.

5. 题库 #8951

概率论基础
设二维随机变量 (X,Y)\left({X,Y}\right) 的分布律为

Y/X0101/4a1b1/4\begin{array}{c|c|c} Y/X & 0 & 1 \\ 0 & 1/4 & a \\ 1 & b & 1/4 \end{array}

且事件 {X=0}\{ X = 0\} 与 {X+Y=1}\{ X + Y = 1\} 相互独立，则 a=a =‾\underline{\hspace{7.5em}}， b=b =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

6. 题库 #10913

概率论提高
设 X1,X2,⋯ ,Xn(n>2){X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}\left({n > 2}\right) 为独立同分布的随机变量,且均服从正态分布 N(0,1)N\left({0,1}\right),记 Xˉ=  1n∑i=1nXi,Yi=Xi−Xˉ,i=1,2,⋯ ,n\bar{X} = \; \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{n}{X}_{i},{Y}_{i} = {X}_{i} - \bar{X},\mathrm{i} = 1,2,\cdots,n,则 Y1{Y}_{1} 与 Yn{Y}_{n} 的协方差 Cov⁡(Y1,Yn)=\operatorname{Cov}\left({{Y}_{1},{Y}_{n}}\right) =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

7. 题库 #8903

概率论提高
设某人毫无准备地参加一项测验，其中有 5 道是非题，他随机地选择“是”或“非”，则该人至少答对 1 题的概率为‾\underline{\qquad}.

A. 15\frac{1}{5}
B. 132\frac{1}{32}
C. 532\frac{5}{32}
D. 3132\frac{31}{32}

8. 题库 #8887

概率论基础
对任意两个事件 AA 和 BB，若 P(AB)=0P\left({AB}\right) = 0，则‾\underline{\qquad}.

A. P(A)P(B)=0P\left(A\right) P\left(B\right) = 0
B. P(A−B)=P(A)P\left({A - B}\right) = P\left(A\right)
C. AB‾=∅\overline{AB} = \varnothing
D. AB=∅{AB} = \varnothing

9. 题库 #9005

概率论提高
设随机变量 XX 在 [0,π2]\left\lbrack {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack 上服从均匀分布， U=sin⁡XU = \sin X， V=cos⁡XV = \cos X，则 UU 与 VV 的相关系数 ρUV{\rho }_{UV} 为‾\underline{\qquad}.

A. ρUV=0{\rho }_{UV} = 0
B. ∣ρUV∣=1\left| {\rho }_{UV}\right| = 1
C. 0<ρUV<10 < {\rho }_{UV} < 1
D. −1<ρUV<0- 1 < {\rho }_{UV} < 0

10. 题库 #10915

概率论提高
设随机变量 X∼t(n),Y∼F(1,n)X \sim t\left(n\right),Y \sim F\left({1,n}\right),给定 α(0<α<0.5)\alpha \left({0 < \alpha < {0.5}}\right),常数 cc 满足 P{X>c}=αP\{ X > c\} = \alpha,则 P{Y>c2}  =‾.P\left\{ {Y > {c}^{2}}\right\} \; = \underline{\qquad}.

A. α\alpha
B. 1−α1 - \alpha
C. 2α{2\alpha }
D. 1−2α1 - {2\alpha }
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概率论提高
设 A,BA,B 是两个随机事件,证明: 1−P(Aˉ)−P(Bˉ)≤P(AB)≤P(A∪B)≤P(A)+P(B)1 - P\left(\bar{A}\right) - P\left(\bar{B}\right) \leq P\left({AB}\right) \leq P\left({A \cup B}\right) \leq P\left(A\right) + P\left(B\right).
概率论提高
设总体 XX 的概率密度为 f(x;θ)={2e−2(x−θ),x>θ,0,x≤θ,f\left({x;\theta }\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 2{\mathrm{e}}^{-2\left({x - \theta }\right) }, & x > \theta, \\ 0, & x \leq \theta, \end{array}\right. 其中 θ(θ>0)\theta \left({\theta > 0}\right) 为未知参数， (X1,X2,⋯ ,Xn)\left({{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}}\right) 为来自总体 XX 的简单随机样本.
(I) 求 θ\theta 的矩估计量 θ^1{\widehat{\theta }}_{1} 与最大似然估计量 θ^2{\widehat{\theta }}_{2};
(II) 问 θ^1{\widehat{\theta }}_{1} 和 θ^2{\widehat{\theta }}_{2} 是否为 θ\theta 的无偏估计量?
(III) 将 θ^1,θ^2{\widehat{\theta }}_{1},{\widehat{\theta }}_{2} 修正为 θ^3,θ^4{\widehat{\theta }}_{3},{\widehat{\theta }}_{4},使 θ^3,θ^4{\widehat{\theta }}_{3},{\widehat{\theta }}_{4} 为 θ\theta 的无偏估计,并比较 θ^3,θ^4{\widehat{\theta }}_{3},{\widehat{\theta }}_{4} 的有效性.
概率论提高
设 A1,A2,⋯ ,An{A}_{1},{A}_{2},\cdots,{A}_{n} 为 nn 个相互独立的事件,且 P(Ak)=pk(k=1,2,⋯ ,n)P\left({A}_{k}\right) = {p}_{k}\left({k = 1,2,\cdots,n}\right)，求下列事件的概率:
(I) A={nA = \{ n 个事件全不发生 }\};
(II) B={nB = \{ n 个事件不全发生 }\};
(III) C={nC = \{ n 个事件中至少有一个发生 }\}.
概率论提高
设随机变量 XX 服从参数为 λ\lambda 的指数分布, Y=[X],Z={X}Y = \left\lbrack X\right\rbrack,Z = \{ X\} 分别是 XX 的整数部分和小数部分. 求 EY{EY} 和 EZ{EZ}.

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