组卷台

设随机变量 $X$ 在 $\left\lbrack {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack$ 上服从均匀分布， $U = \sin X$， $V = \cos X$，则 $U$ 与 $V$ 的相关系数 ${\rho }_{UV}$ 为$\underline{\qquad}$.

A. ${\rho }_{UV} = 0$
B. $\left| {\rho }_{UV}\right| = 1$
C. $0 < {\rho }_{UV} < 1$
D. $- 1 < {\rho }_{UV} < 0$

设随机变量 ${X}_{1},{X}_{2},{X}_{3}$ 相互独立且均服从 $N\left({0,{\sigma }^{2}}\right)$，证明: $T = \sqrt{\frac{2}{3}}\frac{{X}_{1} + {X}_{2} + {X}_{3}}{\left| {X}_{2} - {X}_{3}\right| }$ 服从 $t\left(1\right)$ 分布.

设总体 $X \sim U\left({0,\theta }\right) \left({\theta > 0}\right),\left({{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}}\right)$ 为 $X$ 的简单随机样本, ${X}_{\left(n\right) } = \max \left\{ {{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}}\right\}$.
(I) 证明: ${\widehat{\theta }}_{1} = 2\bar{X},{\widehat{\theta }}_{2} = \frac{n + 1}{n}{X}_{\left(n\right) }$ 是 $\theta$ 的无偏估计;
(II) 当 $n \geq 2$ 时, ${\widehat{\theta }}_{1}$ 和 ${\widehat{\theta }}_{2}$ 哪一个有效?

设随机变量 $X$ 服从 $N\left({\mu,{\sigma }^{2}}\right),A = \{ X > \mu \},B = \{ X > \sigma \},C = \{ X > \mu + \sigma \}$. 若 $P\left(A\right) = P\left(B\right)$,则事件 $A,B,C$ 至多有一个发生的概率为$\underline{\hspace{7.5em}}$.

已知编号为 1,2,3 的 3 个袋子中各有 3 个白球、 2 个黑球, 从 1,2 号袋子中各取出一个球放入 3 号袋子中，则 3 号袋子中白球个数 $X$ 的期望与方差分别为$\underline{\qquad}$.

A. ${EX} = \frac{6}{5},{DX} = \frac{12}{25}$
B. ${EX} = \frac{21}{5},{DX} = \frac{12}{25}$
C. ${EX} = \frac{21}{5},{DX} = \frac{6}{5}$
D. ${EX} = \frac{12}{5},{DX} = \frac{6}{5}$

设随机变量 ${X}_{1}$ 与 ${X}_{2}$ 的分布函数分别为 ${F}_{1}\left(x\right)$ 与 ${F}_{2}\left(x\right),F\left(x\right) = a{F}_{1}\left(x\right) - b{F}_{2}\left(x\right)$ 是某一随机变量的分布函数，则$\underline{\qquad}$.

A. $a = \frac{3}{5},b = - \frac{2}{5}$
B. $a = \frac{2}{3},b = \frac{2}{3}$
C. $a = - \frac{1}{2},b = \frac{3}{2}$
D. $a = \frac{1}{2},b = - \frac{3}{2}$

设对任意两个随机变量 $X$ 与 $Y$,有 $E\left({XY}\right) = {EX} \cdot {EY}$,则$\underline{\qquad}$.

A. $X$ 与 $Y$ 相互独立
B. $X$ 与 $Y$ 不相互独立
C. $D\left({X + Y}\right) = {DX} + {DY}$
D. $D\left({XY}\right) = {DX} \cdot {DY}$

设随机变量 $X$ 服从参数为 2 的指数分布,则 $Y = {2X} + {\mathrm{e}}^{-{2X}}$ 的期望 ${EY} =$$\underline{\qquad}$.

A. $\frac{3}{2}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{4}{3}$

设一批产品中有 15\% 的次品，进行独立重复抽样检验，若抽取 20 个样品，则抽出的 20 个样品中， 可能性最大的次品数是多少? 并求其概率.

设二维随机变量 $\left({X,Y}\right)$ 的概率密度为 $f\left({x,y}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} x{e}^{-y}, & 0 < x < y < + \infty, \\ 0, & \text{ 其他. } \end{array}\right.$ 求:
(I) $X$ 与 $Y$ 的边缘概率密度,并判别 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立；
(II) $\left({X,Y}\right)$ 的分布函数 $F\left({x,y}\right)$;
(III) $Z = X + Y$ 的概率密度 ${f}_{Z}\left(z\right)$.