组卷台

有一根长为 $L$ 的木棒,将其任意折成三段,记事件 $A = \{$ 中间一段为三段中的最长者 $\}$,则 $P\left(A\right) = ($).

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{2}{3}$

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立， $X$ 服从 $p = {0.6}$ 的 0-1 分布， $Y$ 的分布函数为 ${F}_{Y}\left(y\right) = \; \left\{ {\begin{array}{ll} 1 - {\mathrm{e}}^{-y}, & y \geq 0, \\ 0, & y < 0, \end{array}\text{ 记 }Z = X - Y.}\right.$ 求:
(I) $P\{ Z \leq - \frac{1}{2} \mid X = 0\}$;
(II) $Z$ 的分布函数.

设 ${X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}\left({n > 2}\right)$ 为独立同分布的随机变量,且均服从 $N\left({0,1}\right),{Y}_{i} = {X}_{i} - \bar{X}\left({\mathrm{i} = 1,2,\cdots,n}\right)$，其中 $\bar{X} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{n}{X}_{i}$. 求:
(I) $D{Y}_{i}\left({\mathrm{i} = 1,2,\cdots n}\right)$;
(II) ${\rho }_{{Y}_{1}{Y}_{n}}$.

设对任意两个随机变量 $X$ 与 $Y$,有 $E\left({XY}\right) = {EX} \cdot {EY}$,则$\underline{\qquad}$.

A. $X$ 与 $Y$ 相互独立
B. $X$ 与 $Y$ 不相互独立
C. $D\left({X + Y}\right) = {DX} + {DY}$
D. $D\left({XY}\right) = {DX} \cdot {DY}$

设随机变量 $X$ 在 $\left({0,1}\right)$ 内服从均匀分布,求 $Y = - 2\ln X$ 的概率密度.

设 $X \sim t\left(n\right),Y \sim F\left({1,n}\right)$,给定 $\alpha \left({0 < \alpha < {0.5}}\right)$,常数 $k$ 满足 $P\{ X > k\} = \alpha$,则 $P\left\{ {Y > {k}^{2}}\right\} =$$\underline{\hspace{7.5em}}$.

设总体 $X$ 的概率密度为 $f\left({x;\theta }\right) = \left\{ {\begin{array}{ll} \frac{3{x}^{2}}{{\theta }^{3}}, & 0 \leq x \leq \theta, \\ 0, & \text{ 其他, } \end{array}\theta > 0}\right.$ 为未知参数， $\left({{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}}\right)$ 为 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{n}{X}_{i},{Y}_{n} = \max \left\{ {{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}}\right\}$,证明: $\frac{{3n} + 1}{3n}{Y}_{n}$ 与 $\frac{4}{3}\bar{X}$ 都是 $\theta$ 的无偏估计量.

假设某种元件的寿命服从指数分布,其均值 $\theta$ 是未知参数.为估计 $\theta$,取 $n$ 个这种元件同时做寿命试验,试验到出现 $k\left({1 \leq k \leq n}\right)$ 个元件失效时停止.
(1) 若 $k = 1$,失效元件的寿命记为 $T$,(i) 求 $T$ 的概率密度; (ii) 记 $\widehat{\theta } = {aT}$,确定 $a$,使得 $E\widehat{\theta } = \theta$,并求 $D\widehat{\theta }$.
(2) 已知 $k$ 个失效元件的寿命值分别为 ${t}_{1},{t}_{2},\cdots,{t}_{k}$，且 ${t}_{1} \leq {t}_{2} \leq \cdots \leq {t}_{k}$，似然函数为 $$L\left(\theta \right) = \frac{1}{{\theta }^{k}}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{\theta }\left\lbrack {\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{k}{t}_{i} + \left({n - k}\right) {t}_{k}}\right\rbrack },$$ 求 $\theta$ 的最大似然估计值.

对某一目标依次进行了三次独立的射击, 设第一、第二、第三次射击命中的概率分别为
0.4,
0.5 和
0.7, 求:
(I) 三次射击中恰好有一次命中的概率;
(II) 三次射击中至少有一次命中的概率.

设二维随机变量 $\left({X,Y}\right)$ 的概率密度为 $f\left({x,y}\right) = \left\{ {\begin{array}{ll} {\lambda }^{2}{\mathrm{e}}^{-{\lambda x}}, & 0 < y < x, \\ 0, & \text{ 其他 } \end{array}\left({\lambda > 0}\right).}\right.$
(I) 证明: $Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布;
(II) 问 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立? 并说明理由.