组卷台

设 ${X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}$ 相互独立同分布,其相同的概率密度为 $f\left(x\right) = \left\{ {\begin{array}{ll} 2{\mathrm{e}}^{-2\left({x - \theta }\right) }, & x > \theta, \\ 0, & x \leq \theta \end{array}\text{ (}\theta }\right.$ 为常数), 求 $Z = \mathop{\min }\limits_{1 \leq i \leq n}\left\{ {X}_{i}\right\}$ 的数学期望.

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立， $X$ 服从二项分布 $B\left({4,\frac{1}{2}}\right)$， $Y$ 服从 $\lambda = 1$ 的泊松分布，则概率 $P\{ 1 < \; \max \{ X,Y\} \leq 3\} =$$\underline{\hspace{7.5em}}$.

设 $\left({{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{10}}\right)$ 是来自总体 $X \sim N\left({0,1}\right)$ 的简单随机样本,则统计量 $T = \frac{1}{4}{\left(\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{4}{X}_{i}\right) }^{2} + \; \frac{1}{6}{\left(\mathop{\sum }\limits_{i = 5}^{10}{X}_{i}\right) }^{2}$ 服从的分布为$\underline{\qquad}$.

A. $N\left({0,2}\right)$
B. ${\chi }^{2}\left({10}\right)$
C. ${\chi }^{2}\left(2\right)$
D. $N\left({0,{10}}\right)$

一本 500 页的书, 共有 100 个错字, 每个错字等可能出现在每页, 按照泊松定理, 在给定的一页上至少有 2 个错字的概率为$\underline{\qquad}$.

A. $1 - {\mathrm{e}}^{-\frac{2}{5}}$
B. $1 - {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{5}}$
C. $1 - \frac{5}{6}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{5}}$
D. $1 - \frac{6}{5}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{5}}$

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立,且服从同一分布,其概率密度为 $f\left(x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2}{{x}^{2}}, & x > 2, \\ 0, & \text{ 其他, } \end{array}\right.$ 求 $Z = \frac{X}{Y}$ 的分布函数和概率密度.

设随机变量 ${X}_{1}$ 与 ${X}_{2}$ 相互独立，且 ${X}_{1} \sim B\left({1,p}\right)$， ${X}_{2} \sim B\left({2,p}\right)$，其中 $0 < p < 1$，令 ${Y}_{1} = 2{X}_{1} + {X}_{2}$， ${Y}_{2} = \; {X}_{1} - {X}_{2}$
(I) 求相关系数 ${\rho }_{{Y}_{1}{Y}_{2}}$;
(II) 问 ${Y}_{1}$ 与 ${Y}_{2}$ 是否相互独立? 并说明理由.

若 $P\left(A\right) > 0$，则“ $P\left({AB}\right) > P\left(A\right) P\left(B\right)$ ”是“ $P\left({B \mid A}\right) > P\left(B\right)$ ”的$\underline{\qquad}$.

A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 充要条件

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且均存在非零方差， ${DX} \neq {DY}$，则$\underline{\qquad}$.

A. ${2X} + 1$ 与 ${2Y} - 1$ 相关
B. $X + Y$ 与 $X - Y$ 不相关
C. ${\mathrm{e}}^{X}$ 与 $Y + 1$ 相互独立
D. $X + Y$ 与 $Y + 1$ 相互独立

设总体 $X$ 的分布函数为 $F\left({x;\theta }\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 - {\mathrm{e}}^{-\frac{{x}^{2}}{\theta }}, & x \geq 0, \\ 0, & x < 0, \end{array}\right.$ 其中 $\theta$ 是未知参数且大于零, ${X}_{1},{X}_{2}$, $\cdots,{X}_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1) 求 ${EX}$ 与 $E\left({X}^{2}\right)$；
(2) 求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\widehat{\theta }$；
(3) 是否存在实数 $a$,使得对任何 $\varepsilon > 0$,都有 $\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }P\{ \left| {\widehat{\theta } - a}\right| \geq \varepsilon \} = 0$ ?

已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, $X \sim \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{matrix}\right)$, $Y$ 服从参数为 1 的指数分布,记
$$U = \left\{ {\begin{array}{ll} 0, & X < Y, \\ 1, & X \geq Y, \end{array}\;V = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & X < {2Y}, \\ 1, & X \geq {2Y}, \end{array}\right. }\right.$$
求 $P\{ U = 0\}$ 及 $P\{ V = 0\}$.