组卷台

举例说明: 在一致有界性定理中,空间 $X$ 的完备的条件不能去掉.

设 $T$ 是赋范线性空间 $X$ 到赋范线性空间 $Y$ 的线性算子. 若 $\mathcal{N}\left( T\right)$ 是闭集, $T$ 是否一定有界?

设 $H$ 为希尔伯特空间, $A \in \mathcal{F}\left( H\right) ,\tau$ 为 $\mathcal{F}\left( H\right)$ 上的迹. 设 $T \in \mathcal{B}\left( H\right)$ , $\left\{ {T}_{n}\right\} \subset \mathcal{B}\left( H\right)$ 且 $\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }\begin{Vmatrix}{{T}_{n} - T}\end{Vmatrix} = 0$ . 证明: $\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }\tau \left( {{T}_{n}A}\right) = \tau \left( {TA}\right)$ .

设 $A$ 是希尔伯特空间 $H$ 上的自伴算子且满足条件:

$$\text{ 对任意 }x \in H,\langle {Ax},x\rangle \geq 0;\langle {Ax},x\rangle = 0 \Rightarrow x = 0\text{ . }$$

设 $X$ 是巴拿赫空间, $M$ 为 $X$ 中的闭子空间而 $N$ 为 $X$ 中的有限维子空间. 如果 $M \cap N = \{ 0\}$ ,证明: $M + N$ 是 $X$ 的闭子空间.

$X$ 是有限维线性赋范空间. $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 为 $X$ 中的有界无限点列. 证明: $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 中存在一个收敛子列 $\left\{ {x}_{{n}_{k}}\right\}$ .

设 $X$ 为巴拿赫空间, $Y$ 为赋范线性空间, $\left\{ {T}_{n}\right\} \subset \mathcal{B}\left( {X,Y}\right)$ . 若对任意 $g \in {Y}^{\prime }$ , $x \in X$ ,有 $\mathop{\sup }\limits_{n \geq 1}\left| {g\left( {{T}_{n}x}\right) }\right| < \infty$ . 证明: $\mathop{\sup }\limits_{n \geq 1}\begin{Vmatrix}{T}_{n}\end{Vmatrix} < \infty$ .

设 $T$ 是巴拿赫空间 $X$ 到赋范线性空间 $Y$ 中的线性算子. 令

$${M}_{n} = \{ x \in X : \parallel {Tx}\parallel \leq n\parallel x\parallel \} .$$

设 $X$ 是巴拿赫空间,则 $X$ 中的任何有限维子空间都是闭的.

设 $M$ 是 ${l}^{p}\left( {1 \leq p < \infty }\right)$ 中的闭集. 证明: $M$ 是紧集的充要条件是

存在 $K > 0$ 使得 $\parallel x{\parallel }_{p} \leq K$ ,对任意 $x \in M$ ;

对任意 $\varepsilon > 0$ ,存在 $N\left( \varepsilon \right) > 0$ 使得 $\mathop{\sum }\limits_{n = N\left( \varepsilon \right) }^{\infty }{\left| {x}_{n}\right| }^{p} < {\varepsilon }^{p}$ ,对任意 $x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots }\right) \in \; M$ .