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线性代数综合训练卷

命题人：阳光海岸数学

科目：线性代数题数：10 道总分：选填建议用时：选填

1. 题库 #11037

线性代数提高
设 A=(211232334)A = \left(\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 3 & 4 \end{matrix}\right),求
(1)
An{A}^{n};
(2)
A−1{A}^{-1};
(3)
AA 的特征值和特征向量.

2. 题库 #8433

线性代数提高
设 A=(2−13a1b4c6)A = \left(\begin{array}{rrr} 2 & - 1 & 3 \\ a & 1 & b \\ 4 & c & 6 \end{array}\right)，且 BA=O,B{BA} = {O,B} 是 3 阶方阵， r(B)>1r\left(B\right) > 1，求 An{A}^{n}.

3. 题库 #16002

线性代数提高
证明任何一个实二次型都可以分解为一个正定二次型与一个负定二次型的和.

4. 题库 #8427

线性代数基础
设 AA 是 nn 阶方阵,且 ∣A∣=2\left| A\right| = 2,将 AA 的第 i\mathrm{i} 行与第 jj 行互换得到 BB,则行列式 ∣B−1B∗BT∣=\left| {{B}^{-1}{B}^{ * }{B}^{T}}\right| =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

5. 题库 #8439

线性代数基础
设 AA 为 2n+1{2n} + 1 阶正交矩阵，且 ∣A∣=1\left| A\right| = 1，证明: A−EA - E 不可逆.

6. 题库 #8540

线性代数基础
设4阶实对称矩阵 AA 的特征值为0,1,2,3，则 r(A)=()r\left(A\right) = \left(\right).

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

7. 题库 #8393

线性代数基础
设 AA 是 nn 阶方阵,且 AAT=E,∣A∣<0A{A}^{T} = E,\left| A\right| < 0,则 ∣A+E∣=\left| {A + E}\right| =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

8. 题库 #15917

线性代数提高
设 ∣210−1−12−5330ab1−350∣=A41−A42+A43+10\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 1 & - 3 & 5 & 0 \end{matrix}\right| = {A}_{41} - {A}_{42} + {A}_{43} + {10} ,其中 Aij{A}_{ij} 为左边行列式中元素 aij{a}_{ij} 的代数余子式,求

a,ba,b 的值.

9. 题库 #10401

线性代数提高
设 nn 阶矩阵 AA 满足 ∣A∣=1\left| A\right| = 1，其元素 aij=−aji,i,j=1,2,⋯ ,n,n{a}_{ij} = - {a}_{ji},i,j = 1,2,\cdots,n,n 维列向量 x=[1,1,⋯ ,1]T\mathbf{x} = {\left\lbrack 1,1,\cdots,1\right\rbrack }^{T}， 则 xTA∗x={\mathbf{x}}^{T}{A}^{ * }\mathbf{x} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

10. 题库 #8501

线性代数提高
设 α1,α2,⋯ ,αn{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots,{\alpha }_{n} 为 nn 维向量空间 Rn{R}^{n} 的一组基,且 β1=α1,β2=α1+α2,⋯ ,βn=α1+α2+⋯+αn{\beta }_{1} = {\alpha }_{1},{\beta }_{2} = {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2},\cdots,{\beta }_{n} = {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{n}.
(I) 证明: β1,β2,⋯ ,βn{\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots,{\beta }_{n} 也是 Rn{R}^{n} 的一组基,并写出由 α1,α2,⋯ ,αn{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots,{\alpha }_{n} 到 β1,β2,⋯ ,βn{\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots,{\beta }_{n} 的过渡矩阵 PP;
(II) 设向量 α∈Rn,α\alpha \in {R}^{n},\alpha 在基 α1,α2,⋯ ,αn{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots,{\alpha }_{n} 下的坐标为 (n,n−1,⋯ ,2,1)T{\left(n,n - 1,\cdots,2,1\right) }^{T},求 α\alpha 在基 β1,β2,⋯ ,βn{\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots,{\beta }_{n} 下的坐标.
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线性代数提高
(仅数一)设 α1,α2,α3,α4{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3},{\alpha }_{4} 是 nn 维列向量， α1,α2{\alpha }_{1},{\alpha }_{2} 线性无关， α1,α2,α3{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3} 线性相关，且 α1+α2+α4  =0{\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + {\alpha }_{4} \; = 0. 在空间直角坐标系 O−xyzO - {xyz} 中,关于 x,y,zx,y,z 的方程组 xα1+yα2+zα3=α4x{\alpha }_{1} + y{\alpha }_{2} + z{\alpha }_{3} = {\alpha }_{4} 的几何图形是‾\underline{\qquad}
A. 过原点的一个平面.
B. 过原点的一条直线.
C. 不过原点的一个平面.
D. 不过原点的一条直线.
线性代数提高
设矩阵 Am×n,Bn×s{A}_{m \times n},{B}_{n \times s} 满足 r(AB)=r(B)r\left({AB}\right) = r\left(B\right),证明: 对任意矩阵 Cs×t{C}_{s \times t},有 r(ABC)=r(BC)r\left({ABC}\right) = r\left({BC}\right).
线性代数提高
计算 nn 阶行列式 Dn=∣baa⋯aaba⋯a⋮⋮⋮⋮aaa⋯b∣{D}_{n} = \left| \begin{matrix} b & a & a & \cdots & a \\ a & b & a & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & a & a & \cdots & b \end{matrix}\right|.
线性代数提高
已知齐次方程组 Ax=0{x1+a2x2+a3x3+a4x4=0,a1x1+4x2+a2x3+a3x4=0, 又矩阵 B 是 2×4 矩阵, Bx=0 的基础解 2x1+7x2+5x3+3x4=0.{Ax} = 0\left\{\begin{array}{ll} {x}_{1} + {a}_{2}{x}_{2} + {a}_{3}{x}_{3} + {a}_{4}{x}_{4} = 0, \\ {a}_{1}{x}_{1} + 4{x}_{2} + {a}_{2}{x}_{3} + {a}_{3}{x}_{4} = 0,\text{ 又矩阵 }B\text{ 是 }2 \times 4\text{ 矩阵, }{Bx} = 0\text{ 的基础解 } \\ 2{x}_{1} + 7{x}_{2} + 5{x}_{3} + 3{x}_{4} = 0. \end{array}\right. 系为 α1=(1,−2,3,−1)T,α2=(0,1,−2,1)T{\alpha }_{1} = {\left(1, - 2,3, - 1\right) }^{T},{\alpha }_{2} = {\left(0,1, - 2,1\right) }^{T}.
(1)
求矩阵 BB.
(2)
若 Ax=0{Ax} = 0 与 Bx=0{Bx} = 0 同解,求 a1,a2,a3,a4{a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},{a}_{4} 的值.
(3)
在
(2) 条件下,求方程组 Ax=0{Ax} = 0 满足 x3=−x4{x}_{3} = - {x}_{4} 的所有解.

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