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线性代数综合训练卷

命题人：阳光海岸数学

科目：线性代数题数：10 道总分：选填建议用时：选填

1. 题库 #8513

线性代数提高
设有方程组

(I){x1+x2=0,x2−x4=0,(II)Ax=0, (I)\quad \left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2=0,\\ x_2-x_4=0, \end{array} \right. \qquad (II)\quad Ax=0,

其中 (II)(II) 的基础解系为

α1=(−1,2,2,1)T,α2=(0,−1,−1,0)T. \alpha_1=(-1,2,2,1)^T,\qquad \alpha_2=(0,-1,-1,0)^T.

求方程组 (I)(I) 与 (II)(II) 的非零公共解.

2. 题库 #13545

线性代数提高全国硕士研究生招生考试2026 年
设
A=(1002a202a),B=(a−1−1−121−1−1a), A=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&a&2\\0&2&a\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}a&-1&-1\\-1&2&1\\-1&-1&a\end{pmatrix},
设 m(X)m(X) 为 3 阶矩阵 XX 的实特征值中的最大值。若 m(A)<m(B)m(A)<m(B)，则 aa 的取值范围是 ‾\underline{\qquad}。

3. 题库 #8557

线性代数提高
设矩阵 A=(111a21a22a23a31a32a33)A = \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ {a}_{21} & {a}_{22} & {a}_{23} \\ {a}_{31} & {a}_{32} & {a}_{33} \end{matrix}\right) 有 3 个特征向量 α1=(1,1,1)T,α2=(1,1,0)T,α3=(1,0,0)T{\alpha }_{1} = {\left(1,1,1\right) }^{T},{\alpha }_{2} = {\left(1,1,0\right) }^{T},{\alpha }_{3} = {\left(1,0,0\right) }^{T}.
(I) 求 AA;
(II) 求一个可逆矩阵 PP,使得 P−1AP=AT{P}^{-1}{AP} = {A}^{T}.

4. 题库 #11025

线性代数提高
设 nn 阶矩阵 AA 为反对称矩阵, r(A)=n,βr\left(A\right) = n,\beta 为非零列向量,证明: (AββT0)x=0\left(\begin{matrix} A & \beta \\ {\beta }^{T} & 0 \end{matrix}\right) x = 0 必有非零解.

5. 题库 #10436

线性代数提高
设 R3{R}^{3} 中的基

(I)β1=[1,0,0]T,β2=[1,1,0]T,β3=[1,1,1]T\left(I\right) {\beta }_{1} = {\left\lbrack 1,0,0\right\rbrack }^{T},{\beta }_{2} = {\left\lbrack 1,1,0\right\rbrack }^{T},{\beta }_{3} = {\left\lbrack 1,1,1\right\rbrack }^{T} 到基

(II)α1=[1,a,0]T\left({II}\right) {\alpha }_{1} = {\left\lbrack 1,a,0\right\rbrack }^{T},
α2=[0,1,b]T,α3=[1,0,1]T{\alpha }_{2} = {\left\lbrack 0,1,b\right\rbrack }^{T},{\alpha }_{3} = {\left\lbrack 1,0,1\right\rbrack }^{T} 的过渡矩阵为 [0−1110−1011]\left\lbrack \begin{matrix} 0 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right\rbrack.
(1)求 a,ba,b 的值；
(2)已知 ξ\xi 在基

(I)β1,β2,β3\left(I\right) {\beta }_{1},{\beta }_{2},{\beta }_{3} 下的坐标为 [1,0,2]T{\left\lbrack 1,0,2\right\rbrack }^{T}，求 ξ\xi 在基

(II)α1,α2,α3\left({II}\right) {\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3} 下的坐标.

6. 题库 #11077

线性代数提高
设 AA 为 3 阶矩阵, A∗{A}^{ * } 为 AA 的伴随矩阵,若 r(2E−A)=1,r(A+E)=2r\left({{2E} - A}\right) = 1,r\left({A + E}\right) = 2,则 ∣A∗∣=\left| {A}^{ * }\right| =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

7. 题库 #10448

线性代数提高
已知数列 {xn},{yn},{zn}\left\{ {x}_{n}\right\},\left\{ {y}_{n}\right\},\left\{ {z}_{n}\right\} 满足 x0=−1,y0=0,z0=2{x}_{0} = - 1,{y}_{0} = 0,{z}_{0} = 2,且 {xn=−2xn−1+2zn−1,yn=−2yn−1−2zn−1,zn=−6xn−1−3yn−1+3zn−1,\left\{\begin{array}{ll} {x}_{n} = - 2{x}_{n - 1} + 2{z}_{n - 1}, \\ {y}_{n} = - 2{y}_{n - 1} - 2{z}_{n - 1}, \\ {z}_{n} = - 6{x}_{n - 1} - 3{y}_{n - 1} + 3{z}_{n - 1}, \end{array}\right.
记 αn=[xnynzn]{\alpha }_{n} = \left\lbrack \begin{matrix} {x}_{n} \\ {y}_{n} \\ {z}_{n} \end{matrix}\right\rbrack,写出满足 αn=Aαn−1{\alpha }_{n} = A{\alpha }_{n - 1} 的矩阵 AA,并求 An{A}^{n} 及 xn,yn,zn(n=1,2,⋯){x}_{n},{y}_{n},{z}_{n}\left({n = 1,2,\cdots }\right).

8. 题库 #10403

线性代数提高
设 A=[01⋯11⋱⋱⋮⋮⋱⋱11⋯10]nA = {\left\lbrack \begin{matrix} 0 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \cdots & 1 & 0 \end{matrix}\right\rbrack }_{n},则 A−1={A}^{-1} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

9. 题库 #10407

线性代数提高
已知矩阵 A=[11111111210−1−1012],B=[11110101],A=BCA = \left\lbrack \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}\right\rbrack,B = \left\lbrack \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right\rbrack,A = {BC}.
(1) 求矩阵 CC；
(2) 计算 A10{A}^{10}.

10. 题库 #10427

线性代数提高
设矩阵 A=[1−10−111032126],B=[10121−1aa−12−32−2]A = \left\lbrack \begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6 \end{matrix}\right\rbrack,B = \left\lbrack \begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & - 1 & a & a - 1 \\ 2 & - 3 & 2 & - 2 \end{matrix}\right\rbrack,向量 α=[023],β=[10−1]\alpha = \left\lbrack \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\right\rbrack,\beta = \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}\right\rbrack.
(1) 证明:方程组 Ax=α{Ax} = \alpha 的解均为方程组 Bx=β{Bx} = \beta 的解;
(2) 若方程组 Ax=α{Ax} = \alpha 与方程组 Bx=β{Bx} = \beta 不同解，求 aa 的值.

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线性代数提高
已知非齐次线性方程组 {x1+x2+x3+x4=−14x1+3x2+5x3−x4=−1ax1+x2+3x3+bx4=1\left\{ \begin{array}{l} {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + {x}_{4} = - 1 \\ 4{x}_{1} + 3{x}_{2} + 5{x}_{3} - {x}_{4} = - 1 \\ a{x}_{1} + {x}_{2} + 3{x}_{3} + b{x}_{4} = 1 \end{array}\right. 有 3 个线性无关的解. 求 a,ba,b 的值及方程组的通解.
线性代数提高
(仅数一) 设二次型 f(x1,x2,x3)=x12+x22+2x32+2ax1x3−2x2x3f\left({{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) = {x}_{1}^{2} + {x}_{2}^{2} + 2{x}_{3}^{2} + {2a}{x}_{1}{x}_{3} - 2{x}_{2}{x}_{3}. 若二次曲面 f(x1,x2,x3)=f\left({{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) = 1 上的点到坐标原点的距离有最大值,则 aa 可能为‾\underline{\qquad}
A.
0.
B.
1.
C.
2.
D.
3.
线性代数基础
若 An=E,n{A}^{n} = E,n 为正整数，则 (A∗)n={\left({A}^{ * }\right) }^{n} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.
线性代数提高
设二次型 f(x1,x2,x3)=2x12+5x22+5x32+4x1x2−4x1x3−8x2x3f\left({{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) = 2{x}_{1}^{2} + 5{x}_{2}^{2} + 5{x}_{3}^{2} + 4{x}_{1}{x}_{2} - 4{x}_{1}{x}_{3} - 8{x}_{2}{x}_{3}.
(I) 求一个正交变换 x=Qyx = {Qy},将 ff 化为标准形;
(II) 利用配方法,将 ff 化为标准形.

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