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线性代数综合训练卷

命题人：阳光海岸数学

科目：线性代数题数：10 道总分：选填建议用时：选填

1. 题库 #8630

线性代数提高
设 3 阶实矩阵 AA 的特征向量为 α1=(−1,1,0)T,α2=(1,1,1)T,α3=(−1,−1,2)T{\alpha }_{1} = {\left(-1,1,0\right) }^{T},{\alpha }_{2} = {\left(1,1,1\right) }^{T},{\alpha }_{3} = {\left(-1, - 1,2\right) }^{T},则 AA 必为‾\underline{\qquad}.

A. 可逆矩阵
B. 正交矩阵
C. 对称矩阵
D. 正定矩阵

2. 题库 #11128

线性代数拔尖
设二次型 f(x1,x2)=x12−4x1x2+4x22,g(x1,x2)f\left({{x}_{1},{x}_{2}}\right) = {x}_{1}^{2} - 4{x}_{1}{x}_{2} + 4{x}_{2}^{2},g\left({{x}_{1},{x}_{2}}\right) 的二次型矩阵为 B=(1−1−12)B = \left(\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}\right).
(1)
是否存在可逆矩阵 DD，使 B=DTDB = {D}^{T}D ? 若存在，求出矩阵 DD，若不存在，说明理由;
(2)
求 max⁡x≠0f(x)g(x)\mathop{\max }\limits_{x \neq 0}\frac{f\left(x\right) }{g\left(x\right) },其中 x=(x1x2)x = \left(\begin{matrix} {x}_{1} \\ {x}_{2} \end{matrix}\right).

3. 题库 #10437

线性代数提高
设 AA 是 3 阶矩阵, ∣A∣=3\left| A\right| = 3,且满足 ∣A2+2A∣=0,∣2A2+A∣=0\left| {{A}^{2} + {2A}}\right| = 0,\left| {2{A}^{2} + A}\right| = 0,则 A11+A22+A33={A}_{11} + {A}_{22} + {A}_{33} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

4. 题库 #11064

线性代数提高
设 A=(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4,βA = \left({{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3},{\alpha }_{4}}\right),{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3},{\alpha }_{4},\beta 均为四维列向量, B=(α1,α2,α3),Ax=βB = \left({{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}}\right),{Ax} = \beta 的通解为 x=k1  (1,2,−1,2)T+k2(0,1,2,−1)T+(1,2,1,1)Tx = {k}_{1} \; {\left(1,2, - 1,2\right) }^{T} + {k}_{2}{\left(0,1,2, - 1\right) }^{T} + {\left(1,2,1,1\right) }^{T},其中 k1,k2{k}_{1},{k}_{2} 为任意常数,试求 Bx=β{Bx} = \beta 的通解.

5. 题库 #10465

线性代数拔尖
设二次型 f(x1,x2)=x12−4x1x2+4x22,g(x1,x2)f\left({{x}_{1},{x}_{2}}\right) = {x}_{1}^{2} - 4{x}_{1}{x}_{2} + 4{x}_{2}^{2},g\left({{x}_{1},{x}_{2}}\right) 的二次型矩阵为 B=[1−1−12]B = \left\lbrack \begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}\right\rbrack.
(1) 是否存在可逆矩阵 DD,使 B=DTDB = {D}^{T}D ? 若存在，求出矩阵 DD,若不存在，说明理由.
(2) 求 max⁡x≠0f(x)g(x)\mathop{\max }\limits_{x \neq 0}\frac{f\left(x\right) }{g\left(x\right) }，其中 x=[x1x2]x = \left\lbrack \begin{matrix} {x}_{1} \\ {x}_{2} \end{matrix}\right\rbrack.

6. 题库 #15959

线性代数提高
设 A,B,CA,B,C 是 3 个 nn 阶方阵,证明若 rank⁡(A)=rank⁡(BA)\operatorname{rank}\left( A\right) = \operatorname{rank}\left( {BA}\right) ,则 rank⁡(AC)=rank⁡(BAC)\operatorname{rank}\left( {AC}\right) = \operatorname{rank}\left( {BAC}\right) .

7. 题库 #10425

线性代数提高
设 A,BA,B 为 nn 阶矩阵,且 AA 满足 A2−A=3E{A}^{2} - A = {3E},则与 [AB]x=0\left\lbrack \begin{matrix} A \\ B \end{matrix}\right\rbrack x = 0 不一定同解的是‾\underline{\qquad}.

A. [A−BA+AB]x=0\left\lbrack \begin{matrix} A - B \\ A + {AB} \end{matrix}\right\rbrack x = 0
B. [A+BA+AB−B]x=0\left\lbrack \begin{matrix} A + B \\ A + {AB} - B \end{matrix}\right\rbrack x = 0
C. [A−B2A+B]x=0\left\lbrack \begin{matrix} A - B \\ {2A} + B \end{matrix}\right\rbrack x = 0
D. [A+BBA+B2]x=0\left\lbrack \begin{matrix} A + B \\ {BA} + {B}^{2} \end{matrix}\right\rbrack x = 0

8. 题库 #11132

线性代数提高
设 A,BA,B 都是 nn 阶正定矩阵,则: AB{AB} 是正定矩阵 ⇔A,B\Leftrightarrow A,B 乘积可交换.

9. 题库 #8400

线性代数提高
证明: Dn=∣x−10⋯000x−1⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯x−1anan−1an−2⋯a2x+a1∣=xn+∑i=1naixn−i{D}_{n} = \left| \begin{matrix} x & - 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & - 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & - 1 \\ {a}_{n} & {a}_{n - 1} & {a}_{n - 2} & \cdots & {a}_{2} & x + {a}_{1} \end{matrix}\right| = {x}^{n} + \mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{n}{a}_{i}{x}^{n - i}.

10. 题库 #10406

线性代数提高
设 P=[113122002]P = \left\lbrack \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}\right\rbrack,且 P−1AP=[−1000−20000]{P}^{-1}{AP} = \left\lbrack \begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right\rbrack,则 A99={A}^{99} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.
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线性代数提高
二次型 f(x1,x2,x3)=x12−x2x3f\left({{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) = {x}_{1}^{2} - {x}_{2}{x}_{3} 经正交变换 x=Qyx = {Qy} 化为二次型 g(y1,y2,y3)=y1y2+ay32g\left({{y}_{1},{y}_{2},{y}_{3}}\right) = {y}_{1}{y}_{2} + a{y}_{3}^{2}.
(1) 求a的值；
(2) 求正交矩阵 QQ.
线性代数提高
设 n(n≥2)n\left({n \geq 2}\right) 阶矩阵 A=(a11⋯11a1⋯111a⋯1⋮⋮⋮⋮111⋯a)A = \left(\begin{matrix} a & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & a & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & a & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & a \end{matrix}\right). 求:
(I) 可逆矩阵 PP 及对角矩阵 Λ\Lambda,使得 P−1AP=Λ{P}^{-1}{AP} = \Lambda;
(II) r(A∗)r\left({A}^{ * }\right).
线性代数提高
设 3 阶实对称矩阵 A=(aij)3×3A = {\left({a}_{ij}\right) }_{3 \times 3} 有特征值 λ1=λ2=2{\lambda }_{1} = {\lambda }_{2} = 2，且 ∑i=13aii=1,α=(1,0,−2)T\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{3}{a}_{ii} = 1,\alpha = {\left(1,0, - 2\right) }^{T} 是方程组 A∗x=  4α{A}^{ * }x = \; {4\alpha } 的解向量. 求:
(I) 矩阵 AA;
(II) 正交变换 x=Qyx = {Qy},将二次型 f(x1,x2,x3)=xTAxf\left({{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) = {x}^{T}{Ax} 化为标准形.
线性代数提高
设 AA 是 m×nm \times n 阶实矩阵, bb 是 mm 维列向量,证明线性方程组 (ATA)X=ATb\left( {{A}^{\mathrm{T}}A}\right) X = {A}^{\mathrm{T}}b 有解.（注：原书题面作“AA 为 m×nm\times n 矩阵而 bb 为 nn 维列向量”，此处因右端 ATbA^{\mathrm T}b 只有在 b∈Rmb\in\mathbb R^m 时才有定义；原题所标维数与矩阵乘法不相容。订正为“AA 为 m×nm\times n 矩阵而 bb 为 mm 维列向量”。）

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