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线性代数综合训练卷

命题人：阳光海岸数学

科目：线性代数题数：10 道总分：选填建议用时：选填

1. 题库 #8539

线性代数基础
设 λ=2\lambda = 2 是矩阵 AA 的一个特征值，且 ∣A∣≠0\left| A\right| \neq 0，则 (13A2)−1{\left(\frac{1}{3}{A}^{2}\right) }^{-1} 有一个特征值为‾\underline{\qquad}.

A. 43\frac{4}{3}
B. 34\frac{3}{4}
C. 12\frac{1}{2}
D. 14\frac{1}{4}

2. 题库 #10414

线性代数提高
已知 nn 阶矩阵 A,B,CA,B,C 满足 ABC=O,E{ABC} = O,E 为 nn 阶单位矩阵,记矩阵 [OABCE],[ABCOE]\left\lbrack \begin{matrix} O & A \\ {BC} & E \end{matrix}\right\rbrack,\left\lbrack \begin{matrix} {AB} & C \\ O & E \end{matrix}\right\rbrack, [EABABO]\left\lbrack \begin{matrix} E & {AB} \\ {AB} & O \end{matrix}\right\rbrack 的秩分别为 r1,r2,r3{r}_{1},{r}_{2},{r}_{3},则‾\underline{\qquad}.

A. r1≤r2≤r3{r}_{1} \leq {r}_{2} \leq {r}_{3}
B. r1≤r3≤r2{r}_{1} \leq {r}_{3} \leq {r}_{2}
C. r3≤r1≤r2{r}_{3} \leq {r}_{1} \leq {r}_{2}
D. r2≤r1≤r3{r}_{2} \leq {r}_{1} \leq {r}_{3}

3. 题库 #11030

线性代数基础
设 A=[1−1−1−1−11−1−1−1−11−1−1−1−11]A = \left\lbrack \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}\right\rbrack,则 ∑l=14∑j=14Alj=\mathop{\sum }\limits_{l = 1}^{4}\mathop{\sum }\limits_{j = 1}^{4}{A}_{lj} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

4. 题库 #11016

线性代数提高
设 A,BA,B 为 nn 阶矩阵,记 r(X)r\left(X\right) 为矩阵 XX 的秩, (X,Y)\left({X,Y}\right) 表示分块矩阵,则‾\underline{\qquad}
A. r(A,AB)=r(A)r\left({A,{AB}}\right) = r\left(A\right).
B. r(A,BA)=r(A)r\left({A,{BA}}\right) = r\left(A\right).
C. r(A,B)=max⁡{r(A),r(B)}r\left({A,B}\right) = \max \{ r\left(A\right),r\left(B\right) \}.
D. r(A,B)=r(AT,BT)r\left({A,B}\right) = r\left({{A}^{T},{B}^{T}}\right).

5. 题库 #8455

线性代数提高
设 A=(0001000200033210)A = \left(\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right),求 An(n≥1){A}^{n}\left({n \geq 1}\right).

6. 题库 #11048

线性代数提高
设 α1,α2,β1,β2{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\beta }_{1},{\beta }_{2} 均为 4 维列向量, A=(α1Tα2T)A = \left(\begin{matrix} {\alpha }_{1}^{T} \\ {\alpha }_{2}^{T} \end{matrix}\right),若 β1,β2{\beta }_{1},{\beta }_{2} 是方程组 Ax=0{Ax} = 0 的基础解系,则向量组 α1{\alpha }_{1}, α2,β1,β2{\alpha }_{2},{\beta }_{1},{\beta }_{2} 的秩为‾\underline{\qquad}
A.
2.
B.
3.
C.
4.
D. 不确定.

7. 题库 #10389

线性代数提高
已知 3 阶方阵 AA 的特征值为-1,2,3，则 A11+A22+A33={A}_{11} + {A}_{22} + {A}_{33} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

8. 题库 #10418

线性代数提高
设 A,BA,B 为 nn 阶实矩阵,下列结论不成立的是‾\underline{\qquad}.

A. r([AAB0AT])=2r(A)r\left(\left\lbrack \begin{matrix} A & {AB} \\ 0 & {A}^{T} \end{matrix}\right\rbrack \right) = {2r}\left(A\right)
B. r([AOOATA])=2r(A)r\left(\left\lbrack \begin{matrix} A & O \\ O & {A}^{T}A \end{matrix}\right\rbrack \right) = {2r}\left(A\right)
C. r([ABAOAAT])=2r(A)r\left(\left\lbrack \begin{matrix} A & {BA} \\ O & A{A}^{T} \end{matrix}\right\rbrack \right) = {2r}\left(A\right)
D. r([AOBAAT])=2r(A)r\left(\left\lbrack \begin{matrix} A & O \\ {BA} & {A}^{T} \end{matrix}\right\rbrack \right) = {2r}\left(A\right)

9. 题库 #8533

线性代数提高
设 AA 是 m×nm \times n 矩阵, bb 为 mm 维列向量,证明: 线性方程组 ATAx=ATb{A}^{T}{Ax} = {A}^{T}b 必有解.

10. 题库 #10456

线性代数提高
设二次型 f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(ax3+x1)2f\left({{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) = {\left({x}_{1} + {x}_{2}\right) }^{2} + {\left({x}_{2} + {x}_{3}\right) }^{2} + {\left(a{x}_{3} + {x}_{1}\right) }^{2} 正定,则 aa 的取值范围是‾\underline{\hspace{7.5em}}.

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线性代数提高
设矩阵 A=(2101201ab)\mathbf{A} = \left( \begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & a & b \end{array}\right) 仅有两个不同的特征值,若 A\mathbf{A} 相似于对角矩阵,求 a,ba,b 的值,并求可逆矩阵 P\mathbf{P} ,使 P−1AP{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP} 为对角矩阵.
线性代数提高
设 AA 为 m×nm \times n 矩阵, BB 为 n×mn \times m 矩阵, EE 为 mm 阶单位矩阵,若 AB=E{AB} = E,则‾\underline{\qquad}
A. 秩 r(A)=mr\left(A\right) = m,秩 r(B)=mr\left(B\right) = m.
B. 秩 r(A)=mr\left(A\right) = m,秩 r(B)=nr\left(B\right) = n.
C. 秩 r(A)=nr\left(A\right) = n,秩 r(B)=mr\left(B\right) = m.
D. 秩 r(A)=nr\left(A\right) = n,秩 r(B)=nr\left(B\right) = n.
线性代数提高
设 a1a2⋯an≠0{a}_{1}{a}_{2}\cdots {a}_{n} \neq 0 ,计算 nn 阶行列式 Dn=∣0a1+a2a1+a3⋯a1+ana2+a10a2+a3⋯a2+ana3+a1a3+a20⋯a3+an⋮⋮⋮⋮an+a1an+a2an+a3⋯0∣{D}_{n} = \left| \begin{matrix} 0 & {a}_{1} + {a}_{2} & {a}_{1} + {a}_{3} & \cdots & {a}_{1} + {a}_{n} \\ {a}_{2} + {a}_{1} & 0 & {a}_{2} + {a}_{3} & \cdots & {a}_{2} + {a}_{n} \\ {a}_{3} + {a}_{1} & {a}_{3} + {a}_{2} & 0 & \cdots & {a}_{3} + {a}_{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ {a}_{n} + {a}_{1} & {a}_{n} + {a}_{2} & {a}_{n} + {a}_{3} & \cdots & 0 \end{matrix}\right| .
线性代数提高
设 A=(0100001000010000)A = \left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right),则 (E+A)−1={\left(E + A\right) }^{-1} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

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