组卷台

运用结式解二元二次方程组:
(1) $4{x}^{2} - {7xy} + {y}^{2} + {13x} - {2y} - 3 = 0,9{x}^{2} - {14xy} + {y}^{2} + {28x} - {4y} - 5 = 0$ ;
(2) ${x}^{2} + {y}^{2} - {3x} - y = 0, - {x}^{2} - {6xy} + {y}^{2} + {7x} + {11y} - {12} = 0$ ;
(3) $5{x}^{2} - {6xy} + 5{y}^{2} - {16} = 0,2{x}^{2} - {xy} + {y}^{2} - x - y - 4 = 0$.

(提示: 先把一个未知元看做常数, 那么方程组中的两个方程的结式是这个未知元的多项式, 如果方程组有解, 这个结式应该为零, 从而可解出这个未知元, 再代入原来的方程, 解出另一个未知元).

二次型

$$f\left( {{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) = {x}_{1}^{2} + 2{x}_{2}^{2} + 3{x}_{3}^{2} - 4{x}_{1}{x}_{2} + {2a}{x}_{2}{x}_{3}\left( {a > 0}\right)$$

在正交变换 $X = {QY}$ 下的标准形为 $f = 2{y}_{1}^{2} - {y}_{2}^{2} + 5{y}_{3}^{2}$ ,求参数 $a$ 及相应的正交矩阵 $Q$ .

设 $\beta_1=\alpha_2+\cdots+\alpha_r,\ \beta_2=\alpha_1+\alpha_3+\cdots+\alpha_r,\ldots,\beta_r=\alpha_1+\cdots+\alpha_{r-1}$。证明 $\beta_1,\ldots,\beta_r$ 与 $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ 的秩相同。

证明：不存在复数域上的三阶方阵 $A$ ，使得 $$A^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}.$$

(汕头大学,2005) 设 $f\left( x\right)$ 为实系数多项式,证明: 对任何实数 $c$ 都有 $f\left( c\right) \geq 0$ 的充要条件为存在实系数多项式 $g\left( x\right) ,h\left( x\right)$ 使得 $f\left( x\right) = {g}^{2}\left( x\right) + {h}^{2}\left( x\right)$ .

设 $\mathcal A,\mathcal B$ 是线性变换.如果 $\mathcal A\mathcal B-\mathcal B\mathcal A=\mathcal E$，证明：
$$\mathcal A^k\mathcal B-\mathcal B\mathcal A^k=k\mathcal A^{k-1},\quad k>1.$$

计算 $n$ 阶行列式 $$D_n=\begin{vmatrix}a&a+b&\cdots&a+b&a+b\\a-b&a&\cdots&a+b&a+b\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a-b&a-b&\cdots&a&a+b\\a-b&a-b&\cdots&a-b&a\end{vmatrix}.$$

实数域上四元二次型的不同规范形的个数是_.

设矩阵 ${A}_{5 \times 4}$ 的秩为 $2,{\alpha }_{1} = {\left(1,1,2,3\right) }^{T},{\alpha }_{2} = {\left(-1,1,4, - 1\right) }^{T},{\alpha }_{3} = {\left(5, - 1, - 8,9\right) }^{T}$ 是方程组 ${Ax} = 0$ 的解向量,求 ${Ax} = 0$ 的解空间的一组标准正交基.

计算 $n$ 阶行列式 ${D}_{n} = \left| \begin{matrix} b - {a}_{1}^{2} & - {a}_{1}{a}_{2} & \cdots & - {a}_{1}{a}_{n} \\ - {a}_{2}{a}_{1} & b - {a}_{2}^{2} & \cdots & - {a}_{2}{a}_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ - {a}_{n}{a}_{1} & - {a}_{n}{a}_{2} & \cdots & b - {a}_{n}^{2} \end{matrix}\right|$.