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高等数学综合训练卷

命题人：阳光海岸数学

科目：高等数学题数：10 道总分：选填建议用时：选填

1. 题库 #15522

高等数学提高
设曲面 Σ\Sigma 的参数方程为 {x=cos⁡θcos⁡φy=cos⁡θsin⁡φz=sin⁡θ,θ∈[0,π2],φ∈[0,2π]\left\{ {\begin{array}{l} x = \cos \theta \cos \varphi \\ y = \cos \theta \sin \varphi \\ z = \sin \theta \end{array},\theta \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}}\right] ,\varphi \in \left[ {0,{2\pi }}\right] }\right. ,求曲面 Σ\Sigma 上的点到平面 x+y+z=1x + y + z = 1 的距离的最大值.

2. 题库 #15454

高等数学提高
证明边界由数目有限的直线段组成,而在面积不小于 π4\frac{\pi }{4} 的平面凸区域 (区域内任意两点间的线段完全含于该区域)中，至少存在一对相距为 1 的点.

3. 题库 #15178

高等数学提高
设 f(x)f\left( x\right) 在区间 II 上三阶可导, f′(x)≠0{f}^{\prime }\left( x\right) \neq 0 . 若对 II 内任意两点 xx 与 x+hx + h ,都有

f(x+h)=f(x)+f′(x+12h)h. f\left( {x + h}\right) = f\left( x\right) + {f}^{\prime }\left( {x + \frac{1}{2}h}\right) h.

证明 f(x)f\left( x\right) 是 II 上的二次多项式.

4. 题库 #15845

高等数学提高
讨论 ∑n=1∞(−1)[ln⁡n]1n\mathop{\sum }\limits_{n = 1}^{\infty }{\left( -1\right) }^{\left[ \ln n\right] }\frac{1}{n} 的敛散性. 其中 [n]\left[ n\right] 为不超过 nn 的最大整数.

5. 题库 #15231

高等数学基础
求函数 f(x)=∣sin⁡x+cos⁡x+tan⁡x+cot⁡x+sec⁡x+csc⁡x∣f\left( x\right) = \left| {\sin x + \cos x + \tan x + \cot x + \sec x + \csc x}\right| 的最小值.

6. 题库 #9828

高等数学提高
利用拉格朗日乘数法求曲线段 x3−3xy+y3=0(x≥0,y≥0){x}^{3} - {3xy} + {y}^{3} = 0\left({x \geq 0,y \geq 0}\right) 上的点到原点距离的最大值.

7. 题库 #9375

高等数学提高
设函数 f(x)=∫01∣t2−x2∣dt(x>0)f\left(x\right) = {\int }_{0}^{1}\left| {{t}^{2} - {x}^{2}}\right| {dt}\left({x > 0}\right),求 f′(x){f}^{\prime }\left(x\right),并求 f(x)f\left(x\right) 的最小值.

8. 题库 #9720

高等数学基础
设 f(x)f\left(x\right) 满足 ∫0xf(t−x)dt=−x22+e−x{\int }_{0}^{x}f\left({t - x}\right) {dt} = - \frac{{x}^{2}}{2} + {\mathrm{e}}^{-x},求 f(x)f\left(x\right) 的极值与渐近线.

9. 题库 #15125

高等数学提高
设 yn=xn−1+rxn(r≥1){y}_{n} = {x}_{n - 1} + r{x}_{n}\left( {r \geq 1}\right) ，且数列 {yn}\left\{ {y}_{n}\right\} 收敛，试讨论数列 {xn}\left\{ {x}_{n}\right\} 的敛散性.

10. 题库 #9535

高等数学提高
设 a,ba,b 为实数,函数 f(x,y)=ax2+by2f\left({x,y}\right) = a{x}^{2} + b{y}^{2} 在点 (2,1)\left({2,1}\right) 处沿方向 l=i+2jl = i + {2j} 的方向导数最大, 最大值为 454\sqrt{5}，则 (a,b)=\left({a,b}\right) =‾\underline{\hspace{7.5em}}.
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高等数学提高
设函数 f(t)f\left( t\right) 在 t≠0t \neq 0 时一阶连续可导,且 f(1)=0, f(−1)=2f\left( 1\right) = 0,\ f\left( -1\right) = 2 ,求函数 f(x2−y2)f\left( {{x}^{2} - {y}^{2}}\right) ,使得曲线积分 ∫Ly[2−f(x2−y2)]dx+xf(x2−y2)dy{\int }_{L}y\left[ {2 - f\left( {{x}^{2} - {y}^{2}}\right) }\right] \mathrm{d}x + {xf}\left( {{x}^{2} - {y}^{2}}\right) \mathrm{d}y 与路径无关,其中 LL 为任意一条不与直线 y=±xy = \pm x 相交的光滑曲线.（注：原书题面作“只给出正半轴上的条件 f(1)=0f(1)=0”，此处因微分方程在 t>0t>0 与 t<0t<0 两个连通分支上各有一个独立积分常数；原条件只能确定正支，不能唯一确定负支。补充条件后两支均得到 f(t)=1−1/tf(t)=1-1/t。订正为“补充负半轴条件 f(−1)=2f(-1)=2”。）
高等数学基础
设 f(x)f\left( x\right) 连续,且 f′(x0)>0{f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) > 0 ，则存在 δ>0\delta > 0 ，使得‾\underline{\qquad}.
A. 对任意 x∈(x0−δ,x0)x \in \left( {{x}_{0} - \delta ,{x}_{0}}\right) ，有 f(x)>f(x0)f\left( x\right) > f\left( {x}_{0}\right)
B. 对任意 x∈(x0,x0+δ)x \in \left( {{x}_{0},{x}_{0} + \delta }\right) ,有 f(x)>f(x0)f\left( x\right) > f\left( {x}_{0}\right)
C. f(x)f\left( x\right) 在 (x0−δ,x0)\left( {{x}_{0} - \delta ,{x}_{0}}\right) 内单调减少
D. f(x)f\left( x\right) 在 (x0,x0+δ)\left( {{x}_{0},{x}_{0} + \delta }\right) 内单调增加
高等数学基础
lim⁡n→∞n2(2n−2n+1)=\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }{n}^{2}\left({\sqrt[n]{2} - \sqrt[{n + 1}]{2}}\right) =‾\underline{\hspace{7.5em}}.
高等数学提高全国硕士研究生招生考试
求函数 f(x,y)=(2x2−y2)exf(x,y)=(2x^2-y^2)e^x 的极值。

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