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高等数学综合训练卷

命题人：阳光海岸数学

科目：高等数学题数：10 道总分：选填建议用时：选填

1. 题库 #7144

高等数学提高
一动点 PP 在曲线 9y=4x2{9y} = 4{x}^{2} 上运动，已知点 PP 横坐标变化速率为 30cm/s，问:当点 PP 经过 (3,4) 时，从原点到点 PP 的距离 SS 的变化率为多少? (设坐标轴的单位长为 1  cm1\mathrm{\;{cm}} )

2. 题库 #7620

高等数学提高
lim⁡n→∞(1a+2a2+⋯+nan)(a>1)=\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }\left( {\frac{1}{a} + \frac{2}{{a}^{2}} + \cdots + \frac{n}{{a}^{n}}}\right) \left( {a > 1}\right) =

3. 题库 #15072

高等数学提高
设 0<λ<1,xn>00 < \lambda < 1,{x}_{n} > 0 ,且 lim⁡n→∞xn=a\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }{x}_{n} = a ,求 lim⁡n→∞(xn+λxn−1+⋯+λnx0)\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }\left( {{x}_{n} + \lambda {x}_{n - 1} + \cdots + {\lambda }^{n}{x}_{0}}\right) .

4. 题库 #15396

高等数学提高
设抛物线 y=ax2+bx+2ln⁡cy = a{x}^{2} + {bx} + 2\ln c 过原点,当 0≤x≤10 \leq x \leq 1 时, y≥0y \geq 0 ,又已知该抛物线与 xx 轴及直线 x=1x = 1 所围图形的面积为 13\frac{1}{3} . 试确定 a,b,ca,b,c ,使此图形绕 xx 轴旋转一周而成的旋转体的体积 VV 最小.

5. 题库 #9668

高等数学提高
已知 ff 在 [0,1]\left\lbrack {0,1}\right\rbrack 上二阶连续可导, ∣f′′(x)∣≤M\left| {{f}^{\prime \prime }\left(x\right) }\right| \leq M,且其最大最小值都在 (0,1)\left({0,1}\right) 内部取得,利用泰勒展开证明:
(I) 若 f(0)=0f\left(0\right) = 0,则 ∣f(x)∣≤M2\left| {f\left(x\right) }\right| \leq \frac{M}{2};
(II) 若 f(0)=0,f(1)=0f\left(0\right) = 0,f\left(1\right) = 0,则 ∣f(x)∣≤M8\left| {f\left(x\right) }\right| \leq \frac{M}{8}.

6. 题库 #7097

高等数学提高
(I) 当 ∣x∣<1\left| x\right| < 1 时,求 lim⁡n→∞(1+x)(1+x2)(1+x4)⋯(1+x2n)\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }\left( {1 + x}\right) \left( {1 + {x}^{2}}\right) \left( {1 + {x}^{4}}\right) \cdots \left( {1 + {x}^{{2}^{n}}}\right) ;
(II) 当 ∣x∣≠0\left| x\right| \neq 0 时,求 lim⁡n→∞cos⁡x2cos⁡x4⋯cos⁡x2n\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{4}\cdots \cos \frac{x}{{2}^{n}} ;
(III) 求 lim⁡x→π2(1−sin⁡x)(1−sin⁡x3)⋯(1−sin⁡xn)(1−sin⁡x)n−1\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \frac{\pi }{2}}}\frac{\left( {1 - \sqrt{\sin x}}\right) \left( {1 - \sqrt[3]{\sin x}}\right) \cdots \left( {1 - \sqrt[n]{\sin x}}\right) }{{\left( 1 - \sin x\right) }^{n - 1}} .

7. 题库 #15211

高等数学基础
设函数 f(x)f\left( x\right) 在 [−1,1]\left[ {-1,1}\right] 上三阶可导,且 f(−1)=0,f(1)=1,f′(0)=0f\left( {-1}\right) = 0,f\left( 1\right) = 1,{f}^{\prime }\left( 0\right) = 0 . 证明 ∃ξ1,ξ2∈(−1,1)\exists {\xi }_{1},{\xi }_{2} \in \left( {-1,1}\right) ,使得 f′′′(ξ1)≥3,f′′′(ξ2)=3{f}^{\prime \prime \prime }\left( {\xi }_{1}\right) \geq 3,{f}^{\prime \prime \prime }\left( {\xi }_{2}\right) = 3 .

8. 题库 #15363

高等数学提高
设 f(x)f\left( x\right) 在 [0,2]\left[ {0,2}\right] 上连续,且 ∫02f(x)dx=0,∫02xf(x)dx=a>0{\int }_{0}^{2}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0,{\int }_{0}^{2}{xf}\left( x\right) \mathrm{d}x = a > 0 . 证明 ∃ξ∈[0,2]\exists \xi \in \left[ {0,2}\right] ,使 ∣f(ξ)∣≥a\left| {f\left( \xi \right) }\right| \geq a .

9. 题库 #7702

高等数学提高
设 Ω={(x,y,z)∣x2+y2+z2≤2ty,t>0},Ω\Omega = \left\{{\left( {x,y,z}\right) \mid {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} \leq {2ty},t > 0}\right\} ,\Omega 的边界曲面记为 ∑\sum ,取外侧, f(u)f\left( u\right) 在 Ω\Omega 上可导,且 f(0)  =1,I(t)=∮∑xf(z)dy dz+zf(x)dz dx+xf(y)dx dyf\left( 0\right) \; = 1,I\left( t\right) = {\oint }_{\sum }{xf}\left( z\right) \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z + {zf}\left( x\right) \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x + {xf}\left( y\right) \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y . 计算 lim⁡t→0+I(t)t3\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{I\left( t\right) }{{t}^{3}} .

10. 题库 #15540

高等数学提高
证明若函数 f(x,y)f\left( {x,y}\right) 在区域 DD 内对每一个变量 xx 和 yy 都是连续的,而且对其中一个是单调的, 则 f(x,y)f\left( {x,y}\right) 是 DD 内的二元连续函数.

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高等数学提高
已知高温物体置于低温介质中, 任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比. 现将一初始温度为 120∘C{120}^{ \circ }\mathrm{C} 的物体在 20∘C{20}^{ \circ }\mathrm{C} 恒温介质中冷却, 30  min{30}\mathrm{\;{min}} 后该物体温度降至 30∘C{30}^{ \circ }\mathrm{C},若要将该物体的温度继续降至 21∘C{21}^{ \circ }\mathrm{C},还需冷却多长时间?
高等数学提高
SS 是平面 x+y+z=1x + y + z = 1 截取球面 x2+y2+z2=1{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = 1 的球冠部分,则 ∬S(x−2y−2z)2dS={\iint }_{S}{\left(x - 2y - 2z\right) }^{2}{dS} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.
高等数学基础
将 f(x)=1x2f\left( x\right) = \frac{1}{{x}^{2}} 展开成 (x−3)\left( {x - 3}\right) 的幂级数.
高等数学提高
设 a=i+j,b=−2i+ka = i + j,b = - {2i} + k，则以 a,ba,b 为边的平行四边形的对角线的长度为‾\underline{\hspace{7.5em}}.

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