求 ${\int }_{0}^{1}\,\mathrm{d}y{\int }_{y}^{1}{\mathrm{e}}^{\frac{y}{x}}\,\mathrm{d}x$.

设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上连续,在 $\left( {0,1}\right)$ 内可导,且 $f\left( 0\right) = 0,f\left( 1\right) = 1$ . 证明:
(I) 存在 ${x}_{0} \in \left( {0,1}\right)$ ,使得 $f\left( {x}_{0}\right) = 2\left( {1 - {x}_{0}}\right)$ ;
(II) 存在 $\xi$ 与 $\eta \in \left( {0,1}\right)$ ,且 $\xi \neq \eta$ ,使得 ${f}^{\prime }\left( \xi \right) \left\lbrack {1 + {f}^{\prime }\left( \eta \right) }\right\rbrack = 2$ .

证明 $\mathop{\sum }\limits_{n = 1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right) }^{n - 1}\cos {nx}}{{n}^{2}} = \frac{{\pi }^{2}}{12} - \frac{{x}^{2}}{4}, - \pi \leq x \leq \pi$,并求数项级数 $\mathop{\sum }\limits_{n = 1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right) }^{n - 1}}{{n}^{2}}$ 的和.

设有向折线段 $L$ 由线段 ${AB}$ 和 ${BC}$ 构成,方向为 $A\left({\frac{\pi }{2}, - \frac{\pi }{2}}\right) \rightarrow B\left({\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}}\right) \rightarrow C\left({-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}}\right)$, 计算曲线积分 $I = {\int }_{L}{\cos }^{2}y\,\mathrm{d}x - {\sin }^{2}x\,\mathrm{d}y$.

求方程 ${2y}{y}^{\prime \prime } = 1 + {\left({y}^{\prime }\right) }^{2}$ 满足初始条件 $y\left(0\right) = 1,{y}^{\prime }\left(0\right) = 0$ 的特解.

设 $f\left(x\right)$ 在 $\left({a,b}\right)$ 内可导,证明: $f\left(x\right)$ 在 $\left({a,b}\right)$ 是凹的 $\Leftrightarrow \forall x,{x}_{0} \in \left({a,b}\right),f\left(x\right) \geq f\left({x}_{0}\right) + {f}^{\prime }\left({x}_{0}\right) \left({x - {x}_{0}}\right)$.

设 $\frac{1}{n + 1} < \ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) < \frac{1}{n}$ ,证明: 极限 $\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }\left( {1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln n}\right)$ 存在.

求级数 $\mathop{\sum }\limits_{n = 1}^{\infty }\frac{1}{n}{\left(\frac{x}{{2x} + 1}\right) }^{n}$ 的收敛域.

(CPU 降温问题) 一台计算机启动后，其芯片 CPU 温度会不断升高，升高速度为 20 \textdegree C/h. 为防止温度无限升高而烧坏 CPU, 在计算机启动后就要使用风扇, 将恒温空气传送给它, 使它冷却降温. 根据牛顿冷却定律可知冷却速度和物体与空气的温差成正比. 设空气的温度一直保持 15 \textdegree C 不变，试求 CPU 温度的变化规律.
(1) 试证明在这种冷却方法下，CPU 温度 $T$ 是关于时间 $t$ 的单调递增函数，但 $T\left( t\right)$ 有上界
(2) 若已知计算机在启动 $1\mathrm{\;h}$ 后其温度的升高率为 ${14}^{ \circ }\mathrm{C}/\mathrm{h}$ ，试求在启动 $2\mathrm{\;h}$ 后 CPU 温度的升高率.

已知函数 $y = y\left(x\right)$ 由方程 ${ax} + {by} = f\left({{x}^{2} + {y}^{2}}\right)$ 确定,其中 $a,b$ 是常数, $f$ 连续可微,求 $y = y\left(x\right)$ 的导数.