今日推荐练习

讨论级数$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^{\alpha+\frac1n}}\qquad(\alpha>0)$$的绝对收敛性与条件收敛性。

设 $P$ 是一个数域,记 ${V}_{1}$ 是由向量

$${\alpha }_{1} = {\left( 1,2,1,0\right) }^{\mathrm{T}},{\alpha }_{2} = {\left( -1,1,1,1\right) }^{\mathrm{T}},{\alpha }_{3} = {\left( 0,3,2,1\right) }^{\mathrm{T}}$$

生成的 ${P}^{4}$ 的子空间,即 ${V}_{1} = L\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}}\right)$ ,记 ${V}_{2}$ 是由向量

$${\beta }_{1} = {\left( 2, - 1,0,1\right) }^{\mathrm{T}},{\beta }_{2} = {\left( 1, - 1,3,7\right) }^{\mathrm{T}}$$

生成的 ${P}^{4}$ 的子空间,即 ${V}_{2} = L\left( {{\beta }_{1},{\beta }_{2}}\right)$ ,分别求 ${V}_{1} \cap {V}_{2},{V}_{1} + {V}_{2}$ 的维数和一组基.

计算曲面积分$$\iint_{\Sigma}\frac{x^2y\,\mathrm dy\,\mathrm dz+y^2z\,\mathrm dz\,\mathrm dx+(z^2+1)\,\mathrm dx\,\mathrm dy}{4x^2+4y^2+z^2},$$其中$$\Sigma:\ 4x^2+4y^2+z^2=4,\qquad z\ge0.$$

计算曲线积分$$\int_L\left[2(x^2-x)e^{2x}-xy\right]\mathrm dx+\left[x^2-(y+2)e^y\right]\mathrm dy.$$式中 $L$ 是从 $(0,0)$ 经曲线$$y=x^2-2x$$到点 $A(4,8)$ 的一段弧.

设 $A \in {M}_{m \times n}\left( \mathbb{R}\right)$ ， $\operatorname{rank}\left( A\right) = r$ .

(1)证明:存在 $m$ 级正交矩阵 $P$ 和 $n$ 级正交矩阵 $Q$ ，使得 ${P}^{\mathrm{T}}{AQ} = \left( \begin{array}{ll} D & O \\ O & O \end{array}\right)$ ，其中 $D$ 为 $r$ 阶可逆对角矩阵.

(2) 若 $A = \left( \begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right)$ ,求相应的正交矩阵 $P,Q$ ,使得 ${P}^{\mathrm{T}}{AQ} = \left( \begin{array}{ll} D & O \\ O & O \end{array}\right)$ .

$A,B$ 分别为 $m \times n$ 与 $n \times k$ 矩阵, $C = {AB}$ ,则 $\operatorname{rank}\left( C\right) \leq \min \{ \operatorname{rank}\left( A\right) ,\operatorname{rank}\left( B\right) \}$ .

设 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}$ 为 $n\left( {n \geq 4}\right)$ 个互异的实数,求下列 $n$ 个未知量 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n},n - 2$ 个方程的齐次线性方程组的通解

$$\left\{ \begin{matrix} {x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{n} = 0 \\ {a}_{1}{x}_{1} + {a}_{2}{x}_{2} + \cdots + {a}_{n}{x}_{n} = 0 \\ {a}_{1}^{2}{x}_{1} + {a}_{2}^{2}{x}_{2} + \cdots + {a}_{n}^{2}{x}_{n} = 0 \\ \cdots \cdots \\ {a}_{1}^{n - 3}{x}_{1} + {a}_{2}^{n - 3}{x}_{2} + \cdots + {a}_{n}^{n - 3}{a}_{n} = 0 \end{matrix}\right.$$

设函数 $f(x)$ 连续，$\Sigma$ 是球面$$x^2+y^2+z^2=1,$$且 $a,b,c$ 是常数。证明：$$\iint_{\Sigma}f(ax+by+cz)\,\mathrm dS=2\pi\int_{-1}^{1}f\left(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\,u\right)\,\mathrm du.$$

求下列函数项级数的和函数:

(1) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{n\left( {n + 1}\right) }{\left( \frac{2 + x}{2 - x}\right) }^{2n}$ ;
(2) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}}\right) {x}^{n}$ .

设 2 阶可逆方阵 $A$ 的特征多项式是 $f\left( x\right) = {x}^{2} - {10x} - {24}$ ，则 ${A}^{-1}$ 的特征多项式是_____

设 $n$ 阶矩阵

$$A = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & & & \\ & 0 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 0 & 1 \\ 1 & & & & 0 \end{matrix}\right) ,C = \left( \begin{matrix} {c}_{0} & {c}_{1} & {c}_{2} & \cdots & {c}_{n - 1} \\ {c}_{n - 1} & {c}_{0} & {c}_{1} & \ddots & \vdots \\ \vdots & {c}_{n - 1} & {c}_{0} & \ddots & {c}_{2} \\ {c}_{2} & \ddots & \ddots & \ddots & {c}_{1} \\ {c}_{1} & {c}_{2} & \cdots & {c}_{n - 1} & {c}_{0} \end{matrix}\right)$$

(1)用 $E$ 及 $A$ 的幂表示循环矩阵 $C$ .

(2) 求 $A,C$ 的特征值及 $C$ 的行列式.

(3) 证明: $C$ 相似于对角阵.

设二元函数 $f$ 在 ${\mathbf{R}}^{2}$ 上连续,证明:

(1) 若 $\mathop{\lim }\limits_{{{x}^{2} + {y}^{2} \rightarrow + \infty }}f\left( {x,y}\right) = + \infty$ ,则 $f$ 在 ${\mathbf{R}}^{2}$ 上的最小值必定存在;
(2) 若 $\mathop{\lim }\limits_{{{x}^{2} + {y}^{2} \rightarrow + \infty }}f\left( {x,y}\right) = 0$ ，则 $f$ 在 ${\mathbf{R}}^{2}$ 上的最大值与最小值至少存在一个.