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常微分方程练习

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#4594常微分方程难度 3常微分方程随机推荐101常微分方程习题解答习题 4.2
设二元函数 f(x,y)f(x,y) 在条形区域 [0,a]×R[0,a] \times \mathbb{R} (其中实常数 a>0a > 0) 上连续且满足 Rosenblatt 条件:
∣f(x,y)−f(x,z)∣⩽qx∣y−z∣,0<x⩽a 且 y,z∈R, |f(x,y) - f(x,z)| \leqslant \frac{q}{x}|y - z|, \quad 0 < x \leqslant a \text{ 且 } y,z \in \mathbb{R},
其中 q<1q < 1. 证明: 初值问题
dydx=f(x,y),y(0)=η \frac{\dif y}{\dif x} = f(x,y), \quad y(0) = \eta
在 [0,a][0,a] 上有且只有一个解.
#4541常微分方程难度 2常微分方程随机推荐101常微分方程习题解答习题 2.7
设 ω\omega 是非零的实常数，P(λ)P(\lambda) 是实常系数的多项式.试求出实线性方程 P(D)x=sin⁡ωtP(\D)x = \sin\omega t 的一个特解.
#4606常微分方程难度 3常微分方程随机推荐101常微分方程习题解答习题 4.3
设 f(x,y)f(x,y) 是平面上的二元连续函数.如果存在实常数 N>0N > 0，使得
∣f(x,y)−f(x,y~)∣⩽N∣y−y~∣. |f(x,y) - f(x,\tilde{y})| \leqslant N|y - \tilde{y}|.
试证明：对每个正整数 nn，初值问题
dydx=f(x,y)sin⁡xn,y(0)=0 \frac{\dif y}{\dif x} = f(x,y)\sin\frac{x}{n}, \quad y(0) = 0
的解 yn(x)y_n(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上都存在，且 lim⁡n→+∞yn(x)=0\lim\limits_{n \to +\infty} y_n(x) = 0.
#4593常微分方程难度 2常微分方程随机推荐101常微分方程习题解答习题 4.2
试举例说明: 当 II 是无限区间时, II 上一致有界且等度连续的函数族未必包含一致收敛的函数子列.
#4566常微分方程难度 2常微分方程随机推荐101常微分方程习题解答习题 3.6
设 p(t),q(t),f(t)p(t), q(t), f(t) 连续，φ(t)\varphi(t) 是齐次方程 x′′+p(t)x′+q(t)x=0x'' + p(t)x' + q(t)x = 0 的非零解.证明：φ(t)\varphi(t) 的零点是离散的（即没有聚点）.
#4497常微分方程难度 2常微分方程随机推荐101常微分方程习题解答习题 1.2
求出曲线族 y=Cx2y = Cx^2 所满足的微分方程.
#4545常微分方程难度 2常微分方程随机推荐101常微分方程习题解答习题 3.2
设 A\boldsymbol{A} 和 B\boldsymbol{B} 是两个乘法可交换的 nn 阶方阵，即 AB=BA\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{BA}，求证：eA+B=eAeB=eBeA\me^{\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}} = \me^{\boldsymbol{A}}\me^{\boldsymbol{B}} = \me^{\boldsymbol{B}}\me^{\boldsymbol{A}}.
#4540常微分方程难度 2常微分方程随机推荐101常微分方程习题解答习题 2.7
求解实方程 (D2+k2)x=hsin⁡pt(\D^2 + k^2)x = h\sin pt，其中 k>0,p>0k>0, p>0 和 hh 都是实常数.
#4622常微分方程难度 2常微分方程随机推荐101常微分方程习题解答习题 4.6
设 φn(t)\varphi_n(t) 是初值问题
dxdt=1+x2,x(1n)=1n2 \frac{\dif x}{\dif t} = 1 + x^2, \quad x\left( \frac{1}{n} \right) = \frac{1}{n^2}
的解.试证明：对于给定的 ε>0\varepsilon > 0，存在正整数 NN，使得当 n⩾Nn \geqslant N 时 φn(t)\varphi_n(t) 在闭区间
[−π2+ε,π2−ε] \left[ -\frac{\pi}{2} + \varepsilon, \frac{\pi}{2} - \varepsilon \right]
上存在，且满足 ∣φn(t)−tan⁡t∣<ε|\varphi_n(t) - \tan t| < \varepsilon.
#4503常微分方程难度 3常微分方程随机推荐101常微分方程习题解答习题 2.1
将上题的结论应用到下述各种情形, 以得到相应的充要条件:
  1. μ=μ(x+y)\mu = \mu(x+y);
  2. μ=μ(x−y)\mu = \mu(x-y);
  3. μ=μ(x2+y2)\mu = \mu\left(x^2+y^2\right);
  4. μ=μ(xy)\mu = \mu(xy);
  5. μ=μ(yx)\mu = \mu\left(\frac{y}{x}\right);
  6. μ=μ(xαyβ)\mu = \mu\left(x^\alpha y^\beta\right), 其中 α\alpha 和 β\beta 都是给定的实常数.
#4610常微分方程难度 2常微分方程随机推荐101常微分方程习题解答习题 4.4
讨论初值问题 dydx=x−y2, y(0)=0\dfrac{\dif y}{\dif x} = x - y^2,\ y(0) = 0 解的最大存在区间.
#4558常微分方程难度 2常微分方程随机推荐101常微分方程习题解答习题 3.5
设 a0,a1,a2,x0a_0,a_1,a_2,x_0 和 x˙0\dot{x}_0 都是实数，a0≠0a_0 \neq 0，试证：初值问题
{a0x¨+a1x˙+a2x=0,x(t0)=x0,x˙(t0)=x˙0 \begin{cases} a_0 \ddot{x} + a_1 \dot{x} + a_2 x = 0, \\ x(t_0) = x_0,\quad \dot{x}(t_0) = \dot{x}_0 \end{cases}
的解存在且唯一，这里 t0t_0 是给定的任一实数.试求第1题中第 (1)、(3)、(8) 小题满足初值条件 x(1)=0x(1) = 0, x˙(1)=1\dot{x}(1) = 1 的解.