高等代数练习

设

$$A = \left( \begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & 0 \end{matrix}\right) .$$

求关于变元 ${x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4}$ 的方程 $\left( \begin{array}{llll} {x}_{1} & {x}_{2} & {x}_{3} & {x}_{4} \end{array}\right) {A}^{\mathrm{T}}A\left( \begin{array}{l} {x}_{1} \\ {x}_{2} \\ {x}_{3} \\ {x}_{4} \end{array}\right) = 0$ 的所有实数解.

设 $A = \left( \begin{array}{ll} X & B \\ C & D \end{array}\right)$ ,其中 $B,C,D$ 为给定的 $n$ 级矩阵, $X$ 是任意 $n$ 级矩阵,当 $X$ 变化时,求 $\operatorname{rank}\left( A\right)$ 的最小值.

直线 $\left\{ \begin{array}{l} {2x} + y - z = 2, \\ {3x} - y + z = 3. \end{array}\right.$ 求该直线绕 $y$ 轴旋转所得旋转曲面的方程_____.

设 $A,B$ 是 $n$ 阶方阵,满足 ${AB} = {BA}$ . 证明: 若 $A$ 是可逆矩阵, $B$ 是幂零矩阵(即存在正整数 $k$ 使得 ${B}^{k} = O$ ),则 $A + B$ 可逆.

设 $A = \left( \begin{array}{llll} 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 0 \end{array}\right)$ ,则 ${A}^{-1} =$

给定 $n$ 阶实对称正定矩阵 $A = \left( \begin{matrix} {A}_{1} & \beta \\ {\beta }^{\mathrm{T}} & a \end{matrix}\right)$ ,其中 $\beta$ 为 $n - 1$ 维列向量.

1. 证明: $a - {\beta }^{\mathrm{T}}{A}_{1}^{-1}\beta > 0$ .

2. 若 $A$ 的非对角元素均不大于 0,即当 $i \neq j$ 时,有 ${a}_{ij} \leq 0$ . 证明: ${A}^{-1}$ 中所有元素都非负.

用导出组的基础解系表出第 1 题 1），4），6）小题中线性方程组的全部解.

(1) 设 $f\left( x\right) = {x}^{3} + {3x} + 1$ ,满足同余方程 $v\left( x\right) {f}^{\prime }\left( x\right) \equiv 1\left( {\operatorname{mod}f\left( x\right) }\right)$ 且次数最小的多项式 $v\left( x\right)$ 为_____.

(2)实系数多项式 $f\left( x\right) = 2{x}^{3} - 5{x}^{2} + {4x} - 1$ 及 $g\left( x\right) = 4{x}^{3} - 8{x}^{2} + {5x} - 1$ 的最大公因式为_____.

(3)使得实对称矩阵 $\left( \begin{matrix} 3 + t & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 - t \end{matrix}\right)$ 正定的实数 $t$ 的范围为_____.

(4) 已知方阵 $A$ 的初等因子为 $\lambda ,{\lambda }^{2},{\left( \lambda + 1\right) }^{3},{\left( \lambda - 1\right) }^{2},{\left( \lambda - 1\right) }^{2}$ ，则 $A$ 的极小多项式 ${m}_{A}\left( \lambda \right)$ 为_____.

(5)考虑标准欧氏空间 ${\mathbb{R}}^{4}$ 中的向量

$${\alpha }_{1} = \left( {1,1,1, - 1}\right) ,{\alpha }_{2} = \left( {1,1,1,1}\right) ,{\alpha }_{3} = \left( {-1,1,1,1}\right) ,\beta = \left( {1, - 1,1,1}\right) \text{ . }$$

设 $\gamma$ 与诸 ${\alpha }_{i}$ 均正交，则 $\gamma$ 与 $\beta$ 的夹角的最小值为_____.

(6) 设诸 ${\alpha }_{i}$ 同上一小题,使得 $\left| {{\alpha }_{1} - t{\alpha }_{2}}\right|$ 达到最小的实数 $t$ 为_____.

(7)已知线性映射 $\varphi : {\mathbb{R}}^{4} \rightarrow {\mathbb{R}}^{4}$ 满足

$$\varphi \left( {x,y,z,w}\right) = \left( {x + {3y} + z + {6w},{2y} + z + {4w},{2x} - z, - x + {3y} + {2z} + {6w}}\right) .$$

那么核空间 $\operatorname{Ker}\varphi$ 的维数为_____.

(8) 置换 ${\tau }^{-1}{\sigma \tau }$ 等于_____，这里 $\sigma = \left( \begin{array}{lllllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right) ,\tau = \left( \begin{array}{lllllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 6 & 4 & 2 & 7 & 5 & 3 & 1 \end{array}\right)$ .

(9) 实对称矩阵 $A = \left( \begin{matrix} 4 & - 2 & 0 \\ - 2 & 3 & - 2 \\ 0 & - 2 & 2 \end{matrix}\right)$ 可通过正交相似变换化为对角阵_____.

(10) ${J}_{n}\left( {-1}\right) + {J}_{n}{\left( -1\right) }^{-1}$ 的行列式值为_____.

设 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}$ 为欧氏空间 $V$ 的一组基, ${\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{n}$ 为 $V$ 中的一个正交向量组, ${\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{n}$ 为 $V$ 中的另一个正交向量组,已知对于任意的 $i = 1,2,\cdots ,n,{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{i}$ 能由 ${\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{i}$ 线性表出,也能由 ${\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{i}$ 线性表出. 证明: 存在数 ${k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{n}$ ,使得

$${\beta }_{1} = {k}_{1}{\gamma }_{1},{\beta }_{2} = {k}_{2}{\gamma }_{2},\cdots ,{\beta }_{n} = {k}_{n}{\gamma }_{n}.$$

设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵.证明：存在实对称矩阵 $B$，使 $B^2=A$ 的充要条件是 $A$ 为半正定矩阵.

若 $A = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}\right)$ ,则 ${A}^{2026} =$ _____.

设 $A$ 为实对称矩阵, $S$ 为实反称矩阵, ${AS} = {SA},A$ 可逆,证明: $A - S$ 可逆,且

$$\left( {A + S}\right) {\left( A - S\right) }^{-1}$$

为正交矩阵.