记 \[ \alpha=f'_+(a),\qquad \beta=f'_-(b). \] 由条件 \(\alpha\beta>0\) 可知 \(\alpha,\beta\) 同号且均不为 \(0\)。先证明在 \((a,b)\) 内存在零点。分两种情形讨论。若 \(\alpha>0,\ \beta>0\)，则由右导数的定义， \[ \lim_{x\to a+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\alpha>0. \] 因为 \(f(a)=0\)，故存在 \(\delta_1>0\)，当 \(a0 \] 从而 \(f(x)>0\)。又由左导数的定义， \[ \lim_{x\to b-}\frac{f(x)-f(b)}{x-b}=\beta>0. \] 因为 \(f(b)=0\)，故存在 \(\delta_2>0\)，当 \(b-\delta_20. \] 但此时 \(x-b<0\)，于是 \(f(x)<0\)。取 \[ x_1\in (a,a+\delta_1),\qquad x_2\in (b-\delta_2,b) \] 并使 \(x_10,\qquad f(x_2)<0. \] 由于 \(f\) 在 \([x_1,x_2]\) 上连续，由介值定理，存在 \[ \xi\in (x_1,x_2)\subset (a,b) \] 使得 \[ f(\xi)=0. \] 若 \(\alpha<0,\ \beta<0\)，同理可得：当 \(x\) 充分接近 \(a\) 且 \(x>a\) 时，有 \(f(x)<0\)；当 \(x\) 充分接近 \(b\) 且 \(x0\)。于是仍可由介值定理得到某点 \[ \xi\in(a,b) \] 使得 \[ f(\xi)=0. \] 因此，在任意情形下，均存在 \(\xi\in(a,b)\) 使 \[ f(\xi)=0. \] 下面证明存在 \(\eta\in(a,b)\) 使 \(f''(\eta)=0\)。由于 \[ f(a)=f(\xi)=0 \] 且 \(f\) 在 \([a,\xi]\) 上连续、在 \((a,\xi)\) 内可导，由罗尔定理，存在 \[ u\in(a,\xi) \] 使得 \[ f'(u)=0. \] 同理，由 \[ f(\xi)=f(b)=0 \] 且 \(f\) 在 \([\xi,b]\) 上连续、在 \((\xi,b)\) 内可导，再由罗尔定理，存在 \[ v\in(\xi,b) \] 使得 \[ f'(v)=0. \] 于是 \(u